WykladKaliszCalki, ZiIP, algebra
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1Definicjacałkinieoznaczonej
Definicja1
FunkcjaFjestfunkcj¡pierwotn¡funkcjifnaprzedzialeI,je»eli
F
0
(
x
)=
f
(
x
)
dlaka»degox
2
I.
Np.funkcjamipierwotnymifunkcji
f
(
x
)=sin
x
na
R
s¡
−
cos
x
,
−
cos
x
+1,
−
cos
x
−
100.
Twierdzenie1(podstawoweofunkcjachpierwotnych)
NiechFb¦dziefunkcj¡pier-
wotn¡funkcjifnaprzedzialeI.Wtedy
1.funkcjaG
(
x
)=
F
(
x
)+
Cjestfunkcj¡pierwotn¡funkcjifnaprzedzialeIdla
dowolnejstałejC
2
R
.
2.ka»d¡funkcj¦pierwotn¡funkcjifnaImo»naprzedstawi¢wpostaciF
(
x
)+
D,
gdzieD
2
R
.
Twierdzenie2(warunekwystarczaj¡cyistnieniafunkcjipierwotnej)
Je»elifunk-
cjafjestci¡głanaprzedziale,tomafunkcj¦pierwotn¡natymprzedziale.
Definicja2
NiechFb¦dziefunkcj¡pierwotn¡funkcjifnaprzedzialeI.Całk¡nieozna-
czon¡funkcjifnaprzedzialeInazywamyzbiórfunkcji
{
f
(
x
)+
C
:
C
2
R
}
.
Całk¦nieoznaczon¡funkcji
f
oznaczamyprzez
R
f
(
x
)
dx
.
Je»eliistniejecałkafunkcji
f
(
x
),tofunkcj¦nazywamycałkowaln¡.
Wpraktyceniepiszemynawiasówklamrowychzapisuj¡ccałk¦jakopojedyncz¡funkcj¦
pierwotn¡.Równie»działanianacałkachb¦d¡działaniaminafunkcjachreprezentuj¡-
cychtecałki.Naprzykładzauwa»mywłasno±ci:
Z
0
f
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
,
Z
f
0
(
x
)
dx
=
f
(
x
)+
C.
Zewzorównapochodnewynikaj¡nat¦puj¡cewzorydlacałek.
1.1Wzorypodstawowe
Z
n
+1
+
C,n
6
=
−
1
Z
1
x
dx
=ln
|
x
|
+
C
Z
sin
xdx
=
−
cos
x
+
C
Z
cos
dx
=sin
x
+
C
Z
dx
cos
2
x
=tg
x
+
C
1
x
n
dx
=
x
n
+1
Z
dx
sin
2
x
=
−
ctg
x
+
C
Z
a
x
dx
=
a
x
ln
a
+
C
Z
e
x
dx
=
e
x
+
C
Z
dx
1+
x
2
=arctg
x
+
C
Z
dx
p
1
−
x
2
=arcsin
x
+
C
Z
sinh
xdx
=cosh
x
+
C
Z
cosh
xdx
=sinh
x
+
C
Z
dx
cosh
2
x
=tgh
x
+
C
Z
dx
sinh
2
x
=
−
ctgh
x
+
C
Ponadtomamywzór
Z
f
0
(
x
)
f
(
x
)
dx
=ln
|
f
(
x
)
|
+
C.
Wszystkiepowy»szewzorymo»nasprawdzi¢obliczaj¡cpochodn¡prawejstronyrówno-
±ci.Równie»nast¦pnetwierdzeniejestkonsekwencj¡własno±cipochodnychfunkcji.
Twierdzenie3
Je»elifunkcjefigmaj¡funkcjepierwotne,to
1.
R
(
f
(
x
)+
g
(
x
))
dx
=
R
f
(
x
)
dx
+
R
g
(
x
)
dx,
2.
R
(
f
(
x
)
−
g
(
x
))
dx
=
R
f
(
x
)
dx
−
R
g
(
x
)
dx,
3.
R
(
cf
(
x
))
dx
=
c
R
f
(
x
)
dx,
Przykłady
1.
R
dx
x
2
3
p
x
2
3.
R
tg
2
xdx
4.
R
dx
sin
2
x
cos
2
x
5.
R
x
2
(
x
3
+1)
p
x
(
x
2
−
x
+1)
dx
6.
R
x
4
7.
R
2
x
−
3
8.
R
tg
xdx
Twierdzenie4(ocałkowaniuprzezpodstawienie)
Je»elifunkcjaf
(
t
)
jestcałko-
walnawprzedziale
(
a,b
)
ifunkcjat
=
'
(
x
)
maci¡gł¡pochodn¡w
(
,
)
oraza<'
(
x
)
<
bdlax
2
(
,
)
,to
Z
Z
f
(
'
(
x
))
'
0
(
x
)
dx
=
f
(
t
)
dt.
2
2.
R
(
x
−
p
x
)(1+
p
x
)
3
p
x
dx
x
2
+1
dx
x
2
−
3
x
+6
Przykłady
1.
R
(3
x
−
5)
25
dx
2.
R
1
3
x
−
5
dx
1+
e
2
x
dx
4.
R
e
1
/x
x
2
dx
.
Wniosek1
Je»elifunkcjaF
(
x
)
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcjif
(
x
)
,to
Z
f
(
ax
+
b
)
dx
=
1
a
F
(
ax
+
b
)+
C
Przykłady
1.
R
cos(3
x
+1)
dx
2.
R
e
2
x
dx
Twierdzenie5(ocałkowaniuprzezcz¦±ci)
Je»elifunkcjeu
(
x
)
iv
(
x
)
maj¡wpew-
nymprzedzialeci¡głepochodne,to
Z
Z
u
(
x
)
v
0
(
x
)
dx
=
u
(
x
)
v
(
x
)
−
v
(
x
)
u
0
(
x
)
dx.
Przypomnijmy,»e
v
0
(
x
)
dx
=
dv
,
u
0
(
x
)
dx
=
du
(ró»niczki).Zatemwzórnacałkowanie
przezcz¦±cimo»nazapisa¢krócej
Z
Z
udv
=
uv
−
vdu.
Przykłady
1.
R
ln
xdx
2.
R
x
sin2
xdx
3.
R
x
arctg
xdx
4.
R
e
x
cos
xdx
5.
R
x
3
e
−
x
2
dx
1.2Wzoryrekurencyjne
1.
Z
sin
n
xdx
=
−
1
n
cos
x
sin
n
−
1
x
+
n
−
1
Z
sin
n
−
2
xdx,n
2
,
n
2.
Z
cos
n
xdx
=
1
n
sin
x
cos
n
−
1
x
+
n
−
1
Z
cos
n
−
2
xdx,n
2
,
n
3.
Z
x
n
a
x
dx
=
x
n
a
x
ln
a
−
n
Z
x
n
−
1
a
x
dx,n
1
,
ln
a
4.
Z
dx
(1+
x
2
)
n
=
x
2(
n
−
1)(1+
x
2
)
n
−
1
+
2
n
−
3
Z
dx
(1+
x
2
)
n
−
1
,n
2
,
2
n
−
2
5.
(
a
2
+
x
2
)
n
=
x
2(
n
−
1)
a
2
(
a
2
+
x
2
)
n
−
1
+
2
n
−
3
Z
dx
(
a
2
+
x
2
)
n
−
1
,n
2
,
(2
n
−
2)
a
2
3
3.
R
e
x
Z
dx
1.3Wzorydodatkowe
1.
x
2
+
a
2
=
1
a
arctg
x
a
+
C
2.
Z
dx
x
2
−
a
2
=
1
x
−
a
x
+
a
+
C
2
a
ln
3.
Z
dx
a
2
−
x
2
=
1
a
+
x
a
−
x
+
C
2
a
ln
4.
p
a
2
−
x
2
=arcsin
x
a
+
C
5.
Z
p
a
2
−
x
2
=
a
2
2
arcsin
x
a
+
x
p
a
2
−
x
2
+
C
a
6.
Z
dx
p
p
x
2
+
a
=ln
|
x
+
x
2
+
a
|
+
C
7.
Z
p
x
2
+
adx
=
a
2
ln
|
x
+
p
x
2
+
a
|
+
x
2
p
x
2
+
a
+
C
Przykłady
1.
R
p
4
−
x
2
dx
2.
R
dx
p
x
2
−
7
1.4Całkowaniefunkcjiwymiernych
Q
(
x
)
,gdzieP
(
x
)
,Q
(
x
)
s¡wielomianami.Je»eli
deg
P<
deg
Q,tofunkcj¦wymiern¡
nazywamywła±ciw¡(lubułamkiemwła±ciwym).
Je»elideg
P
deg
Q
,tomo»nawykona¢dzielenie.Otrzymamyiloraz
S
(
x
)ireszt¦
R
(
x
),
tj.:
Q
(
x
)
=
S
(
x
)+
R
(
x
)
Q
(
x
)
.
Zatemfunkcjewymiern¡niewła±ciw¡mo»naprzedstawi¢wpostacisumywielomianui
ułamkawła±ciwego.
Przykład
Przedstawi¢wpostacisumywielomianuiułamkawła±ciwegofunkcj¦
x
3
+5
x
2
−
7
x
2
+1
.
Definicja4
Funkcj¦wymiern¡postaci
A
(
x
+
a
)
n
,n
2
N
,a,A
2
R
nazywamyułamkiemprostympierwszegorodzaju,afunkcj¦
Bx
+
C
4
Z
dx
Z
dx
Definicja3
Funkcj¡wymiern¡nazywamyilorazdwóchwielomianów,tj.funkcj¦postaci
P
(
x
)
P
(
x
)
(
x
2
+
px
+
q
)
n
,n
2
N
,p,q,B,C
2
R
,
=
p
2
−
4
q<
0
nazywamyułamkiemprostymdrugiegorodzaju.
Twierdzenie6(orozkładziefunkcjiwymiernejnaułamkiproste)
Ka»dafunk-
cjawymiernawła±ciwajestsum¡ułamkówprostych.Je»elimianownikfunkcjijestpo-
staci
Q
(
x
)=
a
(
x
−
x
1
)
k
1
(
x
−
x
2
)
k
2
...
(
x
−
x
r
)
k
r
(
x
2
+
p
1
x
+
q
1
)
l
1
(
x
2
+
p
2
x
+
q
2
)
l
2
...
(
x
2
+
p
s
x
+
q
s
)
l
s
,
toczynnikowi
(
x
−
x
i
)
k
i
odpowiadasumak
i
ułamkówprostychpostaci
x
−
x
i
+
A
2
(
x
−
x
i
)
2
+
···
A
k
i
(
x
−
x
i
)
k
i
,
aczynnikowi
(
x
2
+
p
j
x
+
q
j
)
l
j
odpowiadasumal
j
ułamkówprostychpostaci
x
2
+
p
j
x
+
q
j
+
B
2
x
+
C
2
B
1
x
+
C
1
(
x
2
+
p
j
x
+
q
j
)
2
+
···
+
B
l
j
x
+
C
l
j
(
x
2
+
p
j
x
+
q
j
)
l
j
.
Przykłady
Rozło»y¢naułamkiproste
x
3
+2
x
2
−
x
−
2
=
1
5
x
2
−
4
x
−
1
−
1
1
x
+1
+
16
1
1
x
+2
,
6
2
3
x
3
+1
=
−
1
1
x
+1
+
3
x
+
1
3
x
2
−
x
+1
,
3
1
x
−
1
.
Zpowy»szychwłasno±cialgebraicznychwynika,»ecałkowaniefunkcjiwymiernychmo»-
nasprowadzi¢docałkowaniaułamkówprostych.Zułamkamipierwszegorodzajuniema
problemu:
x
2
x
−
2
−
8
1
(
x
−
2)
2
+
4
1
(
x
−
2)
3
−
1
1
27
9
3
27
1.dla
n
=1:
Z
A
x
+
a
=
A
ln(
x
+
a
)+
C
;
2.dla
n>
1:
(
x
+
a
)
n
=
A
1
(1
−
n
)(
x
+
a
)
1
−
n
+
C
;
Ułamkidrugiegorodzajus¡trudniejsze.Dla
n
=1nale»y:
1.wydzieli¢wlicznikupochodn¡mianownika:
Bx
+
C
=
B
2
(2
x
+
p
)+(
C
−
Bp
2
);
2.rozło»y¢nasum¦ułamków:
Bx
+
C
x
2
+
px
+
q
=
x
2
+
px
+
q
+
C
−
Bp
2
2
(2
x
+
p
)
x
2
+
px
+
q
;
3.dopierwszegoułamkazastosowa¢wzór
R
f
0
(
x
)
f
(
x
)
dx
=ln
|
f
(
x
)
|
+
C
;
4.wdrugimułamkuprzedstawi¢licznikwpostacikanonicznej:(
x
+
p
2
)
2
−
4
ana-
st¦pnieskorzysta¢zewzoru
Z
dx
a
arctg
x
+
p
2
s
(
x
+
p
2
)
2
+
a
2
=
1
−
4
a
+
C,
gdziea=
5
A
1
1
x
(
x
−
2)
3
(
x
+1)
=
1
Z
A
B
[ Pobierz całość w formacie PDF ]