Wykład 16 - Równania liniowe, Matematyka, Algebra liniowa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ALGEBRA WYKŁAD 16
Równania liniowe
JacekJ¦drzejewski
2008/2009
Spis tre±ci
1 Warstwy, przestrze« ilorazowa
2
2 Równania liniowe
4
3 Układy równa« liniowych
6
1
1 Warstwy, przestrze« ilorazowa
Jakzwykle,niech
V
b¦dziedowoln¡przestrzeni¡liniow¡nadciałemKi
W
jejdowoln¡podprzestrzeni¡.
Definicja 1
Zbiór
n
x
2
V
:
9
y
2
W
(
x
=
a
+
y
)
o
,
gdzie
a
jestpewnymustalonymwektoremzprzestrzeni
V
,nazywamywar-
stw¡przestrzeni
V
wzgl¦dempodprzestrzeni
W
wyznaczon¡przezwektor
a
.
Warstw¦t¦oznaczamysymbolem
a
+
W
.
Inaczejwarstw¦t¦mo»naopisa¢jakozbiór
{
a
+
y
:
y
2
W
}
.
Twierdzenie 2
Dwiewarstwys¡rozł¡cznelubs¡równe.
\
b
+W=?,todobrze.
Je±linie,toistniejewektor
u
,nale»¡cydoobuwarstw.Wtedyistniej¡
wektory
y
a
i
y
b
wpodprzestrzeniWtakie,»e
u
=
a
+
y
a
i
u
=
b
+
y
b
.
Zatem
a
−
b
=
y
b
−
y
a
.
Wobectego
a
−
b
2
Wi
b
−
a
2
W
.
Je±li
v
2
a
+
W
,toistniejewektor
y
wpodprzestrzeni
W
taki,»e
v
=
a
+
y
.
Wtedy
v
=
a
+
y
=
b
+(
a
−
b
)+
y
=
b
+(
a
−
b
+
y
)
,
2
Dowód.Niech
a
+Wi
b
+Wb¦d¡dwiemawarstwamiprzestrzeniV.
Je±li
a
+W
aponiewa»
a
−
b
+
y
2
W
,wi¦c
v
2
b
+W
.
Udowodnili±mywi¦czawieranie
a
+W
b
+W.Podobniedowodzisi¦
zawieraniaprzeciwnego.Takwi¦c
a
+W=
b
+W
.
Zdowodupowy»szegotwierdzeniawynikanast¦puj¡cywniosek:
Wniosek 1
Dlaka»dychwektorów
a
i
b
zprzestrzeni
V
ipodprzestrzeni
W
równo±¢
a
+
W
=
b
+
W
jestspełnionawtedyitylkowtedy,gdy
a
−
b
2
W
.
Inaczejzapisuj¡cmamy:
Wniosek 2
Dlaka»dychwektorów
a
i
b
zprzestrzeni
V
ipodprzestrzeni
W
a
+
W
=
b
+
W
()
a
−
b
2
W
.
Własno±¢ 3
Dlaka»dychwektorów
a
,
a
0
,
b
i
b
0
zprzestrzeni
V
ipodprze-
strzeni
W
je±li
a
+
W
=
a
0
+
W
i
b
+
W
=
b
0
+
W
,
to
(
a
+
b
)+W+(
a
0
+
b
0
)+W
.
Dowód.Poniewa»
(
a
+
b
)
−
(
a
0
+
b
0
)=(
a
−
a
0
)+(
b
−
b
0
)
,
wi¦c
(
a
+
b
)
−
(
a
0
+
b
0
)
2
W
,
ast¡dipowy»szegownioskuwynikateza.
3
Definicja 4
Je±li
W
jestpodprzestrzeni¡liniow¡przestrzeniliniowej
V
,to
sum¡warstw
a
+W
i
b
+W
nazywamywarstw¦
(
a
+
b
)+W
.
Zpowy»ejudowodnionejwłasno±ciwynika,»etakokre±lonedziałaniew
zbiorzewarstwjestzale»nejedynieodwarstw,anieodwektorówgeneruj¡-
cychtewarstwy.Oznaczato,»ewzbiorzewarstwwzgl¦dempodprzestrzeni
Wokre±lonejestdziałaniewewn¦trzne.Działanietooznaczamytak,jakdzia-
łaniewprzestrzeni
,czylisymbolem+.
Podobniedowodzimywłasno±ci:
V
Własno±¢ 5
Dlaka»dychwektorów
a
i
b
zprzestrzeni
V
,liczbyzciała
K
ipodprzestrzeni
W
je±li
a
+W=
a
0
+W
,
to
(
a
)+
W
=(
a
0
)+
W
,
Powy»szawłasno±¢pozwalazdefiniowa¢iloczynliczbyprzezwarstw¦w
sposóbnast¦puj¡cy:
·
(
a
+
W
)=(
a
)+
W
.
.Zbiórwarstw
przestrzeniVwzgl¦dempodprzestrzeniWoznaczamysymbolemV
/
W.
Mo»naudowodni¢,»ezbiórV
/
W(warstwprzestrzeniVwzgl¦dempod-
przestrzeni
W
)zdziałaniami+i
·
tworzyprzestrze«liniow¡nadciałemK.
Przestrze«t¦nazywamy
przestrzeni¡ilorazow¡
przestrzeniVprzezpod-
przestrze«W.
W
2 Równania liniowe
Zajmiemysi¦terazogóln¡teori¡równa«liniowych.
4
Wtakisposóbzdefiniowali±myjednodziałaniewewn¦trzneijednodziała-
niezewn¦trznewzbiorzewarstwwzgl¦dempodprzestrzeni
Definicja 6
Równaniemliniowymnazywamyrównanie,maj¡ceposta¢
(1)
A
(
x
)=
b
,
gdzieAjestprzekształceniemliniowympewnejprzestrzeniliniowej
V
wprze-
strze«liniow¡
,
b
jestustalonymwektoremzprzestrzeni
W
,natomiast
x
jestniewiadom¡równania.
Rozwi¡zaniemrównania
(1)nazywamywektor
x
0
zprzestrzeniV,który
spełniatorównanie,tzn.spełnionajestrówno±¢
A
(
x
0
)=
b
.
Oczywi±cierównaniatakiemog¡by¢:
sprzeczne
,tzn.niemaj¡ce»adnegorozwi¡zania;
oznaczone
,tzn.maj¡cejedynerozwi¡zanie
i
nieoznaczone
,tzn.maj¡cewielerozwi¡za«.
Rzeczjasna,istnienierozwi¡zaniazale»yodtego,czywektor
b
nale»y
doobrazuprzekształcenialiniowego.Nasb¦dzieinteresowa¢przypadek,gdy
istniej¡rozwi¡zanianaszegorównania,czyligdy
b
nale»ydozbioruIm
A.
Załó»my,»e
x
0
jestjakim±ustalonymrozwi¡zaniemrównania(1).Zwła-
sno±ciwarstwwynika,»eje±li
A
(
x
0
)=
b
,to
A
−
1
(
b
)=
x
0
+Ker
A.
Je±liVjestprzestrzeni¡sko«czeniewymiarow¡,to:
dim
V
=def(
A
)+rz(
A
)
.
Takwi¦cdef(
A
)=dim
V
−
rz(
A
).Otrzymali±mywtensposóbnast¦puj¡ce
twierdzenieiwniosek:
Twierdzenie 7
Je±li
x
0
jestpewnym(tzw.szczegółowym)rozwi¡zaniemrów-
nanialiniowego
A
(
x
)=
b
,
tozbioremrozwi¡za«tegorównaniajestwarstwa
x
0
+Ker
A.
5
W
[ Pobierz całość w formacie PDF ]