Wykład 18 - Funkcjonały liniowe, Matematyka studia, Algebra liniowa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WYKŁAD6
Funkcjonałyliniowe
Jacek J¦drzejewski
1
1Funkcjonałyliniowe,przestrze«dualna
NiechVb¦dzie dowoln¡ przestrzeni¡ liniow¡ nad ciałem
K
.
Ciało
K
two-
rzy przestrze« liniow¡ nad ciałem
K
; oczywi±cie przestrze« ta jest jednowy-
miarowa. Jej baz¦ stanowi np. jedynka ciała
K
; baz¦ t¦ b¦dziemy oznaczali
symbolem (1).
wciało
K
nazywamyfunk-
cjonałemliniowym(lubform¡liniow¡)wprzestrzeni
V
.
V
Zbiór wszystkich takich przekształce« liniowych, czyli zbiór
Hom
(
V
,
K
)
oznaczamy cz¦sto symbolemV
i nazywamy przestrzeni¡ dualn¡ do prze-
.
Załó»my, »eVjest przestrzeni¡ sko«czenie wymiarow¡. Zgodnie z twier-
dzeniem o okre±laniu przekształcenia liniowego ka»dy funkcjonał liniowy prze-
strzeni
V
lub przestrzeni¡ sprz¦»on¡ do przestrzeni
V
jest jednoznacznie okre±lony przez zdefiniowanie warto±ci tego
funkcjonału dla wektorów bazy przestrzeniV.
Niech
b¦dzie funkcjonałem liniowym przestrzeni
V
V
i niech
B
b¦dzie baz¡
przestrzeniV. Przyjmijmy, »e
B
= (
b
1
,...,
b
n
)
.
Oznaczmy teraz przez
i
warto±¢ funkcjonału
dla wektora
b
i
, dla wszyst-
kich liczb
i
ze zbioru
{
1
,...,n
}
.
Wtedy dla dowolnego wektora
x
, maj¡cego przedstawienie
x
=
x
1
·
b
1
+
...
+
x
n
·
b
n
,
mamy
(
x
) =
x
1
·
(
b
1
) +
...
+
x
n
·
(
b
n
)
,
czyli
(
x
) =
x
1
·
1
+
...
+
x
n
·
n
.
istnieje jedyny funkcjonał liniowy
okre±lony w przestrzeniVi taki, »e
(
b
i
) =
i
dla ka»dego elementu
i
ze
zbioru
{
1
,...,n
}
.
Tak wi¦c macierz¡ funkcjonału liniowego wzgl¦dem baz
B
i (1) jest ma-
cierz, maj¡ca jeden wiersz.
V
2
Definicja1
Przekształcenielinioweprzestrzeni
strzeni
Z tego samego twierdzenia wynika, »e dla ustalonych elementów
1
,
...
,
n
z ciała
K
i ustalonej bazy
B
przestrzeni
Mo»emy wi¦c zapisa¢ warto±ci funkcjonału liniowego
dla argumentu
x
w sposób nast¦puj¡cy:
h
(
x
)
i
=
h
i
h
x
i
h
i
B
=
h
i
B
,
gdzie
(1)
,
B
.
B
•
W efekcie warto±¢
(
x
) jest równa
X
x
i
·
i
.
(1)
i
=1
mamy dwie bazy
B
i
B
0
. W ciele
K
,
oczywi±cie,
wybrali±my 1 jako baz¦ przestrzeni
K
nad ciałem
K
.
Je±li
Załó»my, »e w przestrzeni
V
B
= (
b
1
,...,
b
n
) i
B
0
= (
b
0
1
,...,
b
0
n
)
i
C
jest macierz¡ przej±cia od bazy
B
do bazy
B
0
,
gdzie
C
=
h
ij
i
, to z twier-
dzenia o zmianie baz wynika, »e
h
i
B
0
=
h
i
•
C
,
B
gdy» macierz¡ przej±cia od bazy zło»onej z jedynki ciała
K
do tej samej bazy
jest macierz jednostkowa stopnia pierwszego.
Twierdzenie2
Je±li
V
jestn-wymiarow¡przestrzeni¡liniow¡nadciałem
K
,toprzestrze«dualnadoniejmate»wymiarn.
D o w ó d. Niech
B
, gdzie
B
= (
b
1
,...,
b
n
), b¦dzie baz¡ przestrzeni liniowej
V.
Dla ka»dej liczby
i
ze zbioru
{
1
,...,n
}
istnieje funkcjonał liniowy
b
i
w
przestrzeniVtaki, »e
b
i
(
b
j
) =
ij
.
Udowodnimy, »e funkcjonały
b
1
,...,
b
n
stanowi¡ baz¦ przestrzeni
V
Je±li
1
·
b
1
+
...
+
n
·
b
n
=
,
gdzie jest funkcjonałem zerowym, to dla ka»dego wektora
x
z przestrzeni
V
mamy
1
·
b
1
(
x
) +
...
+
n
·
b
n
(
x
) = (
x
)
.
3
Podstawiaj¡c w miejsce wektora
x
wektor
b
i
z bazy
B
mamy
1
·
b
1
(
b
i
) +
...
+
i
·
b
i
(
b
i
) +
...
+
n
·
b
n
(
b
i
) = 0
,
sk¡d wynika, »e
i
= 0.
I tak si¦ dzieje, gdy
i
przebiega zbiór
{
1
,...,n
}
.
Zatem funkcjonały
b
1
,...,
b
n
s¡ liniowo niezale»ne.
Niech teraz
b¦dzie dowolnym funkcjonałem w przestrzeni
V
.
Je±li przyjmiemy, »e
(
b
i
) =
i
, to
=
1
·
b
1
+
...
+
n
·
b
n
,
gdy» dla ka»dego wektora
x
, maj¡cego posta¢
x
=
X
i
·
b
i
,
mamy
0
1
i
=1
X
X
@
j
·
b
j
A
(
x
) =
j
·
b
j
(
x
) =
j
=1
j
=1
X
X
!
=
j
·
b
j
i
·
b
i
=
j
=1
i
=1
=
X
X
j
·
i
·
b
j
(
b
i
) =
X
i
·
i
·
b
i
(
b
i
) =
j
=1
i
=1
i
=1
=
X
i
·
i
=
X
i
·
(
b
i
) =
i
=1
i
=1
X
!
=
i
·
b
i
=
(
x
)
.
i
=1
Z rozwa»a« tych wynika, »e funkcjonały
b
1
,...,
b
n
stanowi¡ baz¦ prze-
strzeni sprz¦»onej do przestrzeni
V
) =
n.
Definicja3
Baz¦
(
b
1
,...,
b
n
)
opisan¡wpowy»szymtwierdzeniunazywamy
baz¡dualn¡dobazy
(
b
1
,...,
b
n
)
.
Z tego twierdzenia mo»emy wywnioskowa¢, »e przestrze«
V
, dualna do
przestrzeniV
, ma wymiar
n
; przestrzenie te s¡ wi¦c izomorficzne.
Przestrze«
V
nazywamy czasami przestrzeni¡
bidualn¡
lub
dwusprz¦»o-
n¡
.
4
.
W taki sposób udowodnili±my, »e dim(V
Udowodnimy teraz, »e w±ród izomorfizmów przestrzeni
V
na przestrze«
istnieje izomorfizm, który jest okre±lony bez odwoływania si¦ do baz
tych przestrzeni.
Twierdzenie4
Dlaka»degowektora
x
zprzestrzeni
V
funkcjaf
x
okre±lona
wzorem
f
x
(
) =
(
x
)
dlaka»degofunkcjonałuliniowegoprzestrzeni
V
,jestfunkcjonałemlinio-
wymwprzestrzeni
V
.
D o w ó d. Oczywi±cie funkcja
f
x
ma warto±ci w ciele
K
.
Poka»emy, »e jest ona funkcjonałem liniowym.
Niech
i
b¦d¡ dowolnymi funkcjonałami liniowymi w przestrzeni
V
(czyli
2
V
,
2
V
) oraz niech
b¦dzie dowolnym elementem z ciała
K
.
Wtedy
f
x
(
+
) = (
+
)(
x
) =
=
(
x
) +
(
x
) =
f
x
(
) +
f
x
(
)
a tak»e
f
x
(
·
) = (
·
)(
x
) =
·
(
x
) =
·
f
x
(
)
.
Tak wi¦c
f
x
2
V
.
Twierdzenie5
PrzekształcenieT
:
V
−!
V
,okre±lonewzorem
T
(
x
) =
f
x
dlaka»degowektora
x
zprzestrzeni
V
,jestizomorfizmemprzestrzeni
V
na
przestrze«bidualn¡.
D o w ó d. Udowodnimy najpierw, »e funkcja
T
jest przekształceniem li-
niowym.
Niech wi¦c
x
i
y
b¦d¡ dowolnymi wektorami z przestrzeniVoraz
do-
wolnym elementem z ciała
K
.
Wtedy dla dowolnego funkcjonału
, nale»¡cego do przestrzeni
V
mamy:
T
(
x
+
y
)(
) =
f
x
+
y
(
) =
5
V
[ Pobierz całość w formacie PDF ]