Wykład 10 - Macierze i przekształcenia liniowe, Matematyka, Algebra liniowa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Macierze i przekształcenia liniowe
WYKŁAD 10
JacekJ¦drzejewski
2008/2009
Spis tre±ci
1 Macierze
2
2 Macierz przekształcenia liniowego
6
1
1 Macierze
Definicja 1
Macierz¡omwierszachinkolumnach(owymiarachm
×
n)i
wyrazachwciele
K
nazywamyfunkcj¦okre±lon¡wzbiorze
{
1
,
2
,...,m
}×{
1
,
2
,...,n
}
,
gdzien
2
N
,m
2
N
,iprzyjmuj¡c¡warto±ciwciele
K
,któr¡zapisujemy
wtabeli
2
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
... a
mn
3
4
5
,
cooznacza,»ewarto±ci¡naszejfunkcjidlaargumentu
(
i,j
)
jestelementa
ij
,
czasemoznaczanyte»jakoa
i,j
,nale»¡cydociała
K
.
Powy»sz¡macierzzapisujemyte»wnast¦puj¡cejtabeli:
0
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
... a
mn
1
@
A
.
Pionowerz¦dymacierzynazywamy
kolumnamimacierzy
,poziomerz¦dyna-
zywamy
wierszamimacierzy
.
Wskróciemacierzezapisujemywjedenznast¦puj¡cychsposobów:
i
=1
,...,m
i
=1
,...,m
a
ij
,
a
ij
,
a
ij
,
a
ij
,
j
=1
,...,n
j
=1
,...,n
przyczymostatniedwasposobyzapisustosujemywtedy,gdyliczbawierszy
iliczbakolumndanejmacierzys¡ustalone.
Mówimy,»ewyraz
a
kl
stoiw
k
-tymwierszui
l
-tejkolumniemacierzy
.
Elementy
a
ij
nazywamy
wyrazami,elementamilubwspółczynnikami
macierzy
.
2
a
ij
Macierzes¡pewnymifunkcjami,wi¦cmacierze
a
ij
,
b
ij
s¡równe,je±li
maj¡t¦sam¡liczb¦wierszyit¦sam¡liczb¦kolumnoraz
a
ij
=
b
ij
,
dlawszystkich
i
zezbioru
{
1
,...,m
}
oraz
j
zezbioru
{
1
,...,n
}
.
Macierzyoró»nychliczbachwierszylubkolumnnieporównujemy.
Je±liznamywymiarmacierzy,amniejinteresuj¡naswyrazytychmacierzy,
tocz¦stonaoznaczaniemacierzyb¦dziemystosowaliliterytypu:
A
,
B
i
takdalej.Najcz¦±ciejzapisuj¡cmacierzb¦dziemystosowaliwielkieliteryna
oznaczeniemacierzyiodpowiadaj¡ceimmałeliterynaoznaczanieelementów
danychmacierzy.Np.
A
=
a
ij
,
B
=
b
ij
itympodobnie.
Macierz¡kwadratow¡
nazywamymacierz,wktórejliczbawierszyjestrów-
naliczbiekolumn.T¦wspóln¡liczb¦nazywamystopniemmacierzykwadra-
towej.
Je±limacierzkwadratowa
A
o
n
wierszachikolumnachmaposta¢
a
ij
,
,
wszystkieelementypowy»ejgłównej
przek¡tnejs¡równezeru,totak¡macierznazywamymacierz¡trójk¡tn¡dol-
n¡.
Je±liwmacierzykwadratowej
a
ij
,
wszystkieelementyponi»ejgłównej
przek¡tnejs¡równezeru,totak¡macierznazywamymacierz¡trójk¡tn¡gór-
n¡.
Je±liwmacierzykwadratowej
a
ij
,
wszystkieelementypozagłówn¡prze-
k¡tn¡s¡równezeru,totak¡macierznazywamy
macierz¡diagonaln¡
,ozna-
czamyj¡jakodiag(
a
11
,a
22
,...,a
nn
).
Macierz¡skalarn¡
nazywamymacierzdiagonaln¡,wktórejwszystkieele-
mentygłównejprzek¡tnejs¡sobierówne.
Macierz¡jednostkow¡
stopnia
n
nazywamymacierzdiagonaln¡,wktórej
wszystkieelementynagłównejprzek¡tnejs¡równe1.Macierzt¦b¦dziemy
a
ij
3
toci¡g(
a
11
,a
22
,...,a
nn
)nazywamy
główn¡przek¡tn¡
tejmacierzy.
Je±liwmacierzykwadratowej
oznaczaliliter¡
E
.
Czasamisymbolem
ij
b¦dziemyoznaczalitzw.delt¦Kroneckera,czyli
funkcj¦,okre±lon¡wzbiorzeN
2
wzorem:
ij
=
8
<
1
,
gdy
i
=
j,
:
0
,
gdy
i
6
=
j.
Wtedymacierzjednostkow¡stopnia
n
mo»nazapisa¢wpostaci:
i
=1
,...,n
E
=
ij
.
j
=1
,...,n
Macierz¡zerow¡
(niezale»nieodjejwymiaru)nazywamymacierz,której
wszystkiewyrazys¡równezeru.Macierzt¦b¦dziemyoznaczaliliter¡
O
.
Zbiórwszystkichmacierzyowymiarach
m
×
n
ielementachzciałaK
oznaczamysymbolemK
n
×
n
lub
M
n
×
n
(K),lub
M
n
(K)
.
i
=1
,...,m
Niech
A
,gdzie
A
=
a
ij
,
b¦dziemacierz¡zezbioru
M
m
×
n
(K)
.
j
=1
,...,n
j
=1
,...,n
Macierz
B
,gdzie
B
=
b
ji
,
zezbioru
M
n
×
m
(K)nazywamymacierz¡
i
=1
,...,m
transponowan¡macierzy
A
,je±li
b
ji
=
a
ij
dlaka»dego
i
zezbioru
{
1
,...,n
}
oraz
j
zezbioru
{
1
,...,m
}
.
Macierztransponowan¡macierzy
A
oznaczamy
jako
A
t
lub
A
T
lub
A
.
Ka»dywierszmacierzy
A
jestkolumn¡macierzytransponowanej
A
t
ika»-
dakolumnamacierzy
A
jestwierszemmacierzytransponowanej
A
t
.
Przykład 1
Niech
2
213
−
2
568 4
405 7
3
5
i
B
=
h
A
=
4
79640
i
.
Znajdziemymacierzetransponowanedomacierzy
A
i
B
.
4
m
×
n
lub
M
m
×
n
(K).
Zbiórwszystkichmacierzykwadratowychstopnia
n
ielementachzciałaK
oznaczamysymbolemK
Dladanychmacierzymamy:
2
3
2
3
7
9
6
4
0
254
160
385
−
247
4
5
A
t
=
4
5
i
B
t
=
.
Wzbiorzemacierzy
M
m
×
n
(K)mo»emyrozpatrywa¢działaniadodawania
imno»eniaprzezelementyciałaK(macierzes¡funkcjami,wi¦cdziałania
okre±lamyzgodniezzasad¡podan¡wprzykładzieprzestrzeniliniowejfunk-
cji).Mo»emytedziałaniazapisa¢wwersjimacierzowej
2
4
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
... a
mn
3
5
+
2
4
b
11
b
12
... b
1
n
b
21
b
22
... b
2
n
... ... ... ...
b
m
1
b
m
2
... b
mn
3
5
=
2
a
11
+
b
11
a
12
+
b
12
... a
1
n
+
b
1
n
a
21
+
b
21
a
22
+
b
22
... a
2
n
+
b
2
n
... ... ... ...
a
m
1
+
b
m
1
a
m
2
+
b
m
2
... a
mn
+
b
mn
3
4
5
,
·
2
4
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
... a
mn
3
5
=
2
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
... a
mn
3
=
4
5
.
Krócej
i
=1
,...,m
i
=1
,...,m
i
=1
,...,m
a
ij
+
b
ij
=
a
ij
+
b
ij
,
j
=1
,...,n
j
=1
,...,n
j
=1
,...,n
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]