Wykład 8 - przekształcenia liniowe, Matematyka, Algebra liniowa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ALGEBRA WYKŁAD 8
Przekształcenia liniowe
JacekJ¦drzejewski
2008/2009
Spis tre±ci
1 Przekształcenia liniowe
2
2 Obraz i j¡dro przekształcenia liniowego
4
3 Twierdzenie o okre±laniu przekształcenia liniowego
9
1
1 Przekształcenia liniowe
Wa»n¡ rol¦ w teorii przestrzeni liniowych odgrywaj¡ pewne przekształce-
nia tych przestrzeni. Nosz¡ one nazw¦
przekształce«liniowych
lub
homo-
morfizmów
.
Definicja 1
Niech
V
i
W
b¦d¡dwiemaprzestrzeniamiliniowyminad(tym
samym)ciałem
K
.Funkcj¦A
:
V
−!
W
(1)
8
a
2
V
8
b
2
V
A
(
a
+
b
) =
A
(
a
) +
A
(
b
)
,
(2)
8
2
K
8
a
2
V
A
(
a
) =
·
A
(
a
)
.
Warunek (1) nazywamy warunkiem addytywno±ci, a warunek (2) wa-
runkiem jednorodno±ci przekształcenia. Zbiór wszystkich przekształce« li-
niowych z przestrzeni
V
do przestrzeni
W
w t¦ sam¡ przestrze« nazywa-
my
operatoremliniowym
lub
endomorfizmem
przestrzeni
V
. Zbiór wszystkich
endomorfizmów przestrzeniVoznaczamy symbolem
End
K
(V) lub krócej
End
(
V
V
)
.
Definicja 2
Homomorfizmprzestrzeniliniowej
V
wprzestrze«liniow¡
W
nazywamyizomorfizmem,je±lijestonfunkcj¡wzajemniejednoznaczn¡.
Cz¦sto izomorfizm przestrzeniVna t¦ sam¡ przestrze« nazywamy
auto-
morfizmem
przestrzeniV. Zbiór wszystkich automorfizmów przestrzeniV
oznaczamy symbolem
Aut
K
(
V
) lub krócej
Aut
(
V
)
.
wsiebiejest,jakłatwosprawdzi¢,przekształceniem
liniowym.Poniewa»(oczywi±cie)jestonowzajemniejednoznaczne,wi¦cprze-
kształcenieto»samo±cioweprzestrzeni
V
wsiebiejestizomorfizmem.
V
2
nazywamyprzekształceniemlinio-
wymlubhomomorfizmem,je±lispełniaonanast¦puj¡cewarunki:
b¦dziemy oznaczali symbolem
Hom
K
(V
,
W) lub
Hom
(V
,
W), a czasem
L
(V
,
W)
.
Cz¦sto przekształcenie liniowe przestrzeni
Przykład 1
Niech
V
b¦dziedowoln¡przestrzeni¡liniow¡.Przekształcenie
to»samo±ciowezbioru
b¦d¡dowolnymiprzestrzeniamiliniowyminad
ciałem
K
.Przekształcenie
:V
V
i
W
−!
W
okre±lonewzorem
(
x
) =
0
,
gdy
x
2
V
,
jest,jakbardzołatwosprawdzi¢,przekształceniemliniowym.Nazywamyje
przekształceniem zerowym
przestrzeni
V
wprzestrze«
W
.
Twierdzenie 1
Je±li
V
i
W
s¡przestrzeniamiliniowyminadciałem
K
i
A
:
−!
W
jestprzekształceniemliniowym,to
(1)
A
(
0
) =
0
,
(2)
8
a
2
V
A
(
−
a
) =
−
A
(
a
)
,
(3)
A
(
1
a
1
+
2
a
2
) =
1
A
(
a
1
) +
2
A
(
a
2
)
dladowolnychwektorów
a
1
,
a
2
zprzestrzeni
V
idowolnychelementów
1
,
2
zciała
K
.
D o w ó d. Poniewa»
0
= 0
·
0
, wi¦c
A
(
0
) =
A
(0
·
0
) = 0
·
A
(
0
) =
0
.
Podobnie,
A
(
−
a
) =
A
((
−
1)
·
a
) = (
−
1)
·
A
(
a
) =
−
A
(
a
)
.
oraz
1
i
2
do-
wolnymi elementami z ciała
K
. Wtedy, korzystaj¡c najpierw z addytywno±ci
a potem z jednorodno±ci przekształcenia
A
mamy
V
A
(
1
a
1
+
2
a
2
) =
A
(
1
a
1
) +
A
(
2
a
2
) =
1
A
(
a
1
) +
2
A
(
a
2
)
.
Indukcyjnie dowodzimy nast¦puj¡cego twierdzenia.
3
Przykład 2
Niech
V
Niech
a
1
i
a
2
b¦d¡ dowolnymi wektorami przestrzeni
Twierdzenie 2
Je±li
V
i
W
s¡przestrzeniamiliniowyminadciałem
K
i
A
:V
−!
W
jestprzekształceniemliniowym,to
X
!
!
X
8
n
2
N
8
a
1
2
V
8
1
2
K
...
8
a
n
2
V
8
n
2
K
A
i
a
i
=
i
·
A
(
a
i
)
.
i
=1
i
=1
D o w ó d. Gdy
n
= 1 wzór jest oczywisty, a z twierdzenia 1. wiemy, »e
wzór z tezy twierdzenia jest prawdziwy, gdy
n
= 2
.
Załó»my, »e
n
jest dowoln¡, ale ustalon¡ liczb¡ naturaln¡ i prawdziwy jest
wzór z tezy dla liczby
n
. Udowodnimy, »e z tego wzoru wynika
n
+
X
!
n
+
X
A
i
a
i
=
i
·
A
(
a
i
)
i
=1
i
=1
dla dowolnych wektorów
a
1
,...,
a
n
+1
z przestrzeni
V
oraz dowolnych ele-
mentów
1
,...,
n
+1
z ciała
K
.
Istotnie, korzystaj¡c z addytywno±ci przekształcenia
A
oraz zało»enia in-
dukcyjnego, otrzymujemy kolejno
n
+
X
!
X
!
A
i
a
i
=
A
i
a
i
+
n
+1
a
n
+1
=
i
=1
i
=1
X
!
X
A
i
a
i
+
A
(
n
+1
a
n
+1
) =
i
·
A
(
a
i
) +
n
+1
A
(
a
n
+1
) =
i
=1
i
=1
=
n
+
X
i
·
A
(
a
i
)
.
i
=1
Zgodnie z zasad¡ indukcji matematycznej wzór z tezy jest prawdziwy dla
ka»dej liczby naturalnej
n
.
2 Obraz i j¡dro przekształcenia liniowego
V
nadciałem
K
wprzestrze«liniow¡
W
nadtymsamymciałem,tozbiórwar-
to±cifunkcjiAnazywamyobrazemprzekształcenialiniowegoA,natomiast
zbiórwszystkichwektorówzprzestrzeni
,którychobrazemjestwektorze-
rowy(wprzestrzeni
W
),nazywamyj¡dremtegoprzekształcenia.
V
4
Definicja 3
Je±liAjestprzekształceniemliniowymprzestrzeniliniowej
Obraz przekształcenia liniowego
A
oznaczamy symbolem Im
A
, j¡dro tego
przekształcenia – symbolem Ker
A.
Mamy wtedy:
Im
A
=
n
y
2
W:
9
x
2
V
y
=
A
(
x
)
o
,
Ker
A
=
{
x
2
V
:
A
(
x
) =
0
}
.
.
Dlaka»degoprzekształcenialiniowegoprzestrzeniliniowej
V
wprzestrze«
liniow¡
W
nadtymsamymciałem,j¡drotegoprzekształceniajestpodprze-
strzeni¡liniow¡przestrzeni
W
V
.
D o w ó d. Niech
V
i
W
b¦d¡ dwiema przestrzeniami liniowymi nad cia-
łem
K
,
natomiast
A
:V
−!
W– przekształceniem liniowym przestrzeniV
.
Zbiór Im
A
jest niepusty, gdy» wektor zerowy z przestrzeni
W
W
do niego
nale»y.
Niech
a
,
b
b¦d¡ dwoma wektorami ze zbioru Im
A
,
– dowolnym elemen-
tem ciała
K
. Wtedy istniej¡ wektory
x
i
y
w przestrzeni
V
takie, »e
a
=
A
(
x
) i
b
=
A
(
y
)
.
Wektor
x
+
y
nale»y do przestrzeni
V
, wi¦c, korzystaj¡c z addytywno±ci
funkcji
A
mamy
a
+
b
=
A
(
x
) +
A
(
y
) =
A
(
x
+
y
)
,
co oznacza, »e
a
+
b
2
Im
A.
Poniewa»
x
nale»y do przestrzeniV, wi¦c z równo±ci
a
=
·
A
(
x
) =
A
(
x
)
wynika, »e równie» wektor
a
nale»y do zbioru Im
A.
5
Twierdzenie 3
Dlaka»degoprzekształcenialiniowegoprzestrzeniliniowej
V
wprzestrze«liniow¡
W
nadtymsamymciałem,obraztegoprzekształcenia
jestpodprzestrzeni¡liniow¡przestrzeni
w przestrze«
[ Pobierz całość w formacie PDF ]