Wykład 14 i 15 - Wyznaczniki, Matematyka, Algebra liniowa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ALGEBRAWYKŁAD14/15
Wyznaczniki
Jacek J¦drzejewski
AJD 2008/2009
1
1Wyznaczniki,definicjaipodstawoweinfor-
macje
Zakładamy, »e ciałoKjest równeRlubC. Symbolem
M
(K) oznaczamy zbiór
wszystkich macierzy kwadratowych o współczynnikach z ciałaK, tzn.
M
(K) =
[
n
2
N
M
n
(K)
.
Definicja1
Funkcj¦
det :
M
(K)
−!
K
okre±lamynast¦puj¡co:
je±li
A
= [
a
11
]
,
to det
A
=
a
11
,
2
4
3
5
,
gdy
n >
1, to
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
... ... ... ...
a
n
1
a
n
2
... a
nn
je±li
A
=
det
A
=
X
(
−
1)
1+
i
·
a
i
1
·
det
A
i
1
,
i
=1
gdzie
A
ij
jest macierz¡ powstał¡ z macierzy
A
przez skre±lenie
i
-tego wiersza
i
j
-tej kolumny.
Funkcj¦ det nazywamy wyznacznikiem, natomiast warto±¢ tej funkcji dla
macierzy
A
nazywamy wyznacznikiem macierzy
A
.
Wyznacznik został wi¦c zdefiniowany w sposób indukcyjny. Symbol det
pochodzi od łaci«skiego słowa „determinare”. Sam wyznacznik macierzy
A
oznacza si¦ równie» jako
|
A
|
lub
h
a
ij
i
.
Je±li np.
2
1
−
2 4
3
3
A
=
4
1 6
5
,
0
5 11
to wyznacznik tej macierzy zapisujemy w postaci:
1
−
2 4
3
det
A
,
lub
|
A
|
lub
1 6
.
0
5 11
Mówi¡c o wierszach lub kolumnach wyznacznika mamy na uwadze wier-
sze lub kolumny odpowiedniej macierzy. Stopniem wyznacznika nazywamy
stopie« macierzy tego wyznacznika.
2
Obliczanie wyznaczników macierzy jest do±¢ »mudne. Jak si¦ pó¹niej oka-
»e, wyznacznik macierzy stopnia
n
jest sum¡
n
! składników, z których ka»dy
ma
n
czynników.
Obliczanie wyznaczników macierzy zaczniemy jednak od wyznaczników
macierzy stopnia drugiego i trzeciego. Dla macierzy stopnia drugiego wy-
znacznik obliczamy ze wzoru:
a
11
a
12
a
21
a
22
=
a
11
·
a
22
−
a
12
·
a
21
,
który wynika bezpo±rednio z definicji wyznacznika.
Dla macierzy trzeciego stopnia mamy:
det
A
=
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
a
11
·
a
22
a
23
a
32
a
33
−
a
21
·
a
12
a
13
a
32
a
33
+
a
31
·
a
12
a
13
a
22
a
23
=
=
a
11
a
22
a
33
−
a
11
a
23
a
32
−
a
21
a
12
a
33
+
a
21
a
13
a
32
+
a
31
a
12
a
23
−
a
13
a
22
a
31
=
=
a
11
a
22
a
33
+
a
12
a
23
a
31
+
a
13
a
21
a
32
−
a
11
a
23
a
32
−
a
12
a
21
a
33
−
a
13
a
22
a
31
.
Na podstawie powy»szych przykładów zauwa»amy, »e w warto±ciach wy-
znacznika jest suma składników, z których ka»dy jest iloczynem wyrazów
macierzy wybranych w taki sposób, »e znajduje si¦ w nim po jednym ele-
mencie z ka»dego wiersza i po jednym elemencie z ka»dej kolumny.
We wzorze na obliczanie wyznacznika stopnia drugiego wyst¦puj¡ dwa
składniki, dla wyznacznika stopnia trzeciego odpowiedni wzór ma 6 skład-
ników. Nietrudno zauwa»y¢, »e dla wyznacznika
n
-tego stopnia wzór ma
n
! składników.
Praktyczna jest metoda Sarrusa obliczania wyznaczników stopnia trzecie-
go (
itylkotrzeciego!!!
). Poza wyznacznikiem dopisujemy dwie kolumny.
Wtedy główna przek¡tna oraz dwie równoległe do niej dodatkowe „prawie
przek¡tne” tworz¡ iloczyny ze znakiem +
,
natomiast poboczna przek¡tna
i dwie równoległe do niej dodatkowe poboczne „prawie przek¡tne” tworz¡
iloczyny ze znakiem
−
.
Mamy zatem
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
=
3
a
11
a
22
a
33
+
a
12
a
23
a
31
+
a
13
a
21
a
32
−
a
11
a
23
a
32
−
a
12
a
21
a
33
−
a
13
a
22
a
31
.
Dla macierzy
A
stopnia
n
, gdzie
n >
1,
minorem
, odpowiadaj¡cym ele-
mentowi
a
ij
, nazywamy wyznacznik macierzy
A
ij
, powstałej z macierzy
A
przez skre±lenie
i
-tego wiersza i
j
-tej kolumny. Minor taki czasami oznaczamy
symbolem
M
ij
.
Dopełnieniemalgebraicznymelementua
ij
nazywamy
(
−
1)
i
+
j
·
det
A
ij
.
Dopełnienie to oznaczamy krótko symbolem
A
ij
.
Stosuj¡c te oznaczenia wzór rekurencyjny, okre±laj¡cy wyznacznik, mo»na
zapisa¢ w postaci
det
A
=
a
11
·
M
11
−
a
21
·
M
21
+
...
+ (
−
1)
n
+1
·
a
n
1
·
M
n
1
=
a
11
·
A
11
+
a
21
·
A
21
+
...
+
a
n
1
·
A
n
1
.
Krócej zapisujemy te wzory w postaci
det
A
=
X
(
−
1)
i
+1
·
a
i
1
·
M
i
1
=
X
a
i
1
·
A
i
1
.
i
=1
i
=1
Mówimy te», »e wyznacznik macierzy
A
jest sum¡ iloczynów elementów
pierwszej kolumny macierzy
A
przez ich algebraiczne dopełnienia.
Przykład2
Obliczmy odpowiednie minory drugiego stopnia, dopełnienia
algebraiczne i wyznacznik macierzy
2
4
−
2 4 7
1
−
3 1
5
3
5
.
2 1
M
11
=
−
3 1
2 1
=
−
3
−
2 =
−
5
,
M
21
=
4 7
2 1
= 4
−
14 =
−
10
,
M
31
=
4 7
−
3 1
= 4 + 21 = 25
,
4
zatem
A
11
=
−
5
, A
21
= 10
, A
31
= 25
.
Na koniec
det
A
=
−
2
·
(
−
5) + 1
·
10 + 5
·
25 = 145
.
2Własno±ciwyznaczników
Oto podstawowe własno±ci wyznaczników:
Własno±¢3
Wyznacznik,maj¡cywierszzerowy,jestrównyzeru.
Własno±¢4
Wyznacznik,którymadwawierszerówne,jestrównyzeru.
Własno±¢5
Wyznacznik,maj¡cydwawierszeproporcjonalne,jestrówny
zeru.
Własno±¢6
Wyznacznik,któregowierszes¡liniowozale»ne,jestrównyze-
ru.
Własno±¢7
Je±limacierz
A
0
powstajezmacierzy
A
przezzamian¦miej-
scamidwóchwierszy,to
det
A
0
=
−
det
A
.
Własno±¢8
Je±limacierz
A
0
powstajezmacierzy
A
przezdodaniedojed-
negowierszakombinacjiliniowejpozostałychwierszy,to
det
A
0
= det
A
.
Własno±¢9
Je±limacierz
A
0
powstajezmacierzy
A
przezpomno»eniejed-
negowierszaprzezelement,to
det
A
0
=
·
det
A
.
Własno±¢10
Je±li
A
0
=
2
4
a
1
,
1
···
a
1
,n
+1
··· ··· ···
a
k
−
1
,
1
···
a
k
−
1
,n
+1
a
0
k,
1
···
a
0
k,n
+1
a
k
+1
,
1
···
a
k
+1
,n
+1
··· ··· ···
a
n
+1
,
1
···
a
n
+1
,n
+1
3
5
,
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]