Wykład 6 - przestrzenie liniowe II, Matematyka studia, Algebra liniowa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ALGEBRA WYKŁAD 5
Przestrzenie liniowe
JacekJ¦drzejewski
2008/2009
1
1 Liniowa zale»no±¢ układu wektorów
Niech
V
b¦dziedowoln¡przestrzeni¡liniow¡nadciałemK
.
Definicja 1
Układ
(
u
1
,...,
u
m
)
wektorówzprzestrzeni
V
nazywamylinio-
wozale»nym,je±liistniej¡elementy
1
,...,
m
wciele
K
,niewszystkierówne
zeruitakie,»e
1
u
1
+
···
+
m
u
m
=
0
.
Definicja 2
Układ
(
u
1
,...,
u
m
)
wektorówzprzestrzeni
V
nazywamylinio-
woniezale»nym,je±liniejestonukłademliniowozale»nym.
jestli-
niowoniezale»ny,je±linieistniej¡elementy
1
,...,
m
wcieleK
,
niewszyst-
kierównezeruitakie,»e
V
1
u
1
+
···
+
m
u
m
=
0
,
czyli:dlaka»degoukładuelementów(
1
,...,
m
)zciałaKwarunek
1
u
1
+
···
+
m
u
m
=
0
implikujerówno±ci
1
=0
,...,
m
=0
.
Wartopodkre±li¢,»eje±li
1
=0
,...,
m
=0,to
1
v
1
+
...
+
n
v
m
=
0
dlaka»degoukładu
v
1
,...,
v
m
wektorówzprzestrzeniV
.
Przykład 1
Rozwa»myprzestrze«
R
4
nadciałem
R
.Wektory
e
1
,
e
2
,
e
3
i
e
4
,gdzie
e
1
=(1
,
0
,
0
,
0)
,
e
2
=(0
,
1
,
0
,
0)
,
e
3
=(0
,
0
,
1
,
0)
,
e
4
=(0
,
0
,
0
,
1)
,
s¡liniowoniezale»ne.
2
Zauwa»amywi¦c,»eukładwektorów(
u
1
,...,
u
m
)zprzestrzeni
Istotnie,je±li
1
e
1
+
2
e
2
+
3
e
3
+
4
e
4
=
0
,
to
(
1
,
2
,
3
,
4
)=(0
,
0
,
0
,
0)
,
czyli
1
=0
,
2
=0
,
3
=0
,
4
=0
.
Przykład 2
Wtejsamejprzestrzeni
R
4
nadciałem
R
wektory
a
1
,
a
2
i
a
3
,
gdzie
a
1
=(
−
2
,
1
,
3
,
4)
,
a
2
=(3
,
4
,
1
,
1)
,
a
3
=(1
,
2
,
4
,
5)
,
s¡liniowoniezale»ne.
Istotnie,je±li
1
a
1
+
2
a
2
+
3
a
3
=
0
,to
(
−
2
1
+3
2
+
3
,
1
+4
2
+2
3
,
3
1
+
2
+4
3
,
4
1
+
2
+5
3
)=
=(0
,
0
,
0
,
0)
.
Powstajewtensposóbukładrówna«
8
<
−
2
1
+3
2
+
3
=0
,
1
+4
2
+2
3
=0
,
3
1
+
2
+4
3
=0
,
4
1
+
2
+5
3
=0
,
któryjestrównowa»nyukładowi
8
<
:
1
+4
2
+2
3
=0
,
11
2
+5
3
=0
,
−
11
2
−
2
3
=0
,
−
15
2
−
3
3
=0
.
:
St¡dwynika,»e
3
=0
,
2
=0
,
1
=0
.
3
Przykład 3
Wtejsamejprzestrzeni
R
4
nadciałem
R
wektory
a
1
,
a
2
i
a
3
,
gdzie
a
1
=(1
,
−
1
,
1
,
1)
,
a
2
=(2
,
1
,
1
,
−
1)
,
a
3
=(
−
5
,
2
,
−
4
,
−
2)
,
s¡liniowozale»ne,
gdy»3
a
1
+
a
2
+
a
3
=
0
.
Odnotujmyterazpodstawowewłasno±ciliniowozale»nychiliniowonieza-
le»nychukładówwektorów.
Własno±¢ 1
Wka»dejprzestrzeniliniowejukładzło»onyzjednegowektora
jestliniowozale»nywtedyitylkowtedy,gdywektortenjestzerowy.
Własno±¢ 2
Je±lim >
1
,toukładwektorów
(
a
1
,...,
a
m
)
jestliniowoza-
le»nywtedyitylkowtedy,gdyjedenztychwektorówjestkombinacj¡liniow¡
pozostałychwektorów.
Dowód.Załó»my,»eukładwektorów(
a
1
,...,
a
m
)jestliniowozale»ny.
Istniejeukładelementów(
1
,...,
m
)zciałaKtaki,»e
1
a
1
+
···
+
a
m
m
=
0
iprzynajmniejjedenzelementów
1
,...,
m
jestró»nyodzera.
Przypu±¢my,»e
1
6
=0
.
Wtedy
1
a
1
=
−
(
2
a
2
+
···
+
m
a
m
)
,
czyli
−
2
1
−
m
1
a
1
=
a
2
+
···
+
a
m
,
cooznacza,»ewektor
a
1
jestkombinacj¡liniow¡wektorówpozostałych,
czyliwektorów
a
2
,...,
a
m
.
Załó»myteraz,»ejedenzwektorów
a
1
,...,
a
m
jestkombinacj¡liniow¡
wektorówpozostałych.
4
Przypu±¢my,»ejesttowektor
a
1
.
Wtedyistniej¡elementy
2
,...,
m
wcieleKtakie,»e
a
1
=
2
a
2
+
···
+
m
a
m
.
Wynikast¡d,»e
1
·
a
1
+(
−
2
)
a
2
+
···
+(
−
m
)
a
m
=
0
,
sk¡dwnioskujemy,»eukładwektorów(
a
1
,...,
a
m
)jestliniowozale»ny.
Własno±¢ 3
Je±licz¦±¢układuwektorówjestliniowozale»na,torównie»
całyukładjestliniowozale»ny.
Dowód.Załó»my,»eukładwektorów(
a
1
,...,
a
k
)jestliniowozale»ny.
Wtedyukładwektorów(
a
1
,...,
a
k
,
a
k
+1
,...,
a
m
),gdzie
m > k
,jestlinio-
wozale»ny.
Istotnie,istniej¡elementy
1
,
2
,...,
k
wcieleKniewszystkierówne
zeruitakie,»e
1
a
1
+
···
+
k
a
k
=
0
.
Wtedyrównie»
1
a
1
+
···
+
k
a
k
+0
·
a
k
+1
+
...
+0
·
a
m
=
0
iprzynajmniejjedenzewspółczynników
1
,...,
k
,
0
,...,
0jestró»nyod
zera.
Bezpo±rednimwnioskiemztejwłasno±cijest:
Własno±¢ 4
Ka»dacz¦±¢układuliniowoniezale»negojestukłademliniowo
niezale»nym.
Własno±¢ 5
(TwierdzenieSteinitza)
Je±liukładwektorów
(
x
1
,
x
2
,...,
x
k
)
,nale»¡cychdopodprzestrzeni
span(
a
1
,...,
a
m
)
jestliniowoniezale»ny,tok
¬
m.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]