Wykład 13 - Macierz odwrotna, Matematyka, Algebra liniowa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Macierzodwrotna
WYKŁAD13
JacekJ¦drzejewski
2008/2009
Spistre±ci
1Macierzodwrotna 2
2Algorytmodwracaniamacierzy 3
1
1Macierzodwrotna
Przypominamy: symbolem
E
m
b¦dziemy oznaczali macierz jednostkow¡ stop-
nia
m
.
Mamy wi¦c
E
m
=
h
ij
i
j
=1
,...,m
i
=1
,...,m
,
gdzie
ij
oznacza „delt¦ Kroneckera”.
W zbiorze
M
n
(
K
) macierzy kwadratowych stopnia
n
mno»enie macierzy
jest działaniem (wewn¦trznym). Jest ono działaniem ł¡cznym, ale nieprze-
miennym.
Definicja1
Macierz
A
zezbioru
M
n
(
K
)
nazywamyodwracaln¡,je±liist-
niejemacierz
B
taka,»e
A
•
B
=
B
•
A
=
E
n
.
Definicja2
Macierz
B
,spełniaj¡c¡poprzednierówno±cinazywamymacie-
rz¡odwrotn¡domacierzy
A
ioznaczamysymbolem
A
−
1
.
Mamy wi¦c:
A
•
A
−
1
=
A
−
1
•
A
=
E
n
.
Zajmiemy si¦ za chwil¦ sposobami, jak sprawdzi¢, »e dana macierz jest
odwracalna i jak wyznaczy¢ macierz odwrotn¡.
Teraz omówimy podstawowe własno±ci macierzy odwracalnych.
Własno±¢3
Je±limacierz
A
jestodwracalna,torównie»imacierz
A
−
1
jest
odwracalnai
A
−
1
−
1
=
A
.
Dowód wynika bezpo±rednio z definicji macierzy odwrotnej.
2
Własno±¢4
Je±limacierze
A
i
B
,maj¡cetensamstopie«s¡odwracalne,
torównie»imacierz
A
•
B
jestodwracalnai
(
A
•
B
)
−
1
=
B
−
1
•
A
−
1
.
D o w ó d. Zauwa»my, »e
B
−
1
•
A
−
1
•
(
A
•
B
) =
B
−
1
•
A
−
1
•
A
•
B
=
=
B
−
1
•
E
•
B
=
B
−
1
•
B
=
E
oraz podobnie
(
A
•
B
)
•
B
−
1
•
A
−
1
=
A
•
B
•
B
−
1
•
A
−
1
=
=
A
•
E
•
A
−
1
=
A
•
A
−
1
=
E
,
a to ko«czy dowód.
Definicja5
Zbiórwszystkichmacierzyodwracalnychstopnianowspółczyn-
nikachzciała
K
oznaczamyjako
GL(
n,
K
)
.
Okazuje si¦, »e mno»enie macierzy jest działaniem (wewn¦trznym) w zbio-
rze macierzy odwracalnych, zatem z poprzednich własno±ci wnioskujemy, »e:
Twierdzenie6
Zbiórwszystkichmacierzyodwracalnychstopnianowspół-
czynnikachzciała
K
czyli
GL(
n,
K
)
zmno»eniemmacierzyjestgrup¡.
2Algorytmodwracaniamacierzy
Przypomnijmy, »e operacjami elementarnymi na wierszach macierzy nazywa-
my nast¦puj¡ce operacje:
zmiana kolejno±ci dwóch wierszy,
pomno»enie wiersza przez niezerowy element ciała
K
,
dodanie do jednego wiersza innego wiersza pomno»onego przez element
ciała
K
.
Nie wymieniamy teraz skre±lania wiersza zerowego, gdy» w dalszych roz-
wa»aniach zajmiemy si¦ tylko macierzami odwracalnymi.
3
Definicja7
Macierz¡elementarn¡nazywamymacierz,którapowstałazma-
cierzyjednostkowejprzezdokonanienaniejjednejoperacjielementarnej.
Twierdzenie8
Macierzodwrotnadomacierzyelementarnejjestmacierz¡
elementarn¡.
Twierdzenie9
Macierz
A
stopnianjestodwracalnawtedyitylkowtedy,
gdyjestiloczynempewnejliczbymacierzyelementarnych.
Twierdzenie10
Je±li
A
jestmacierz¡kwadratow¡stopnian,tomo»naj¡
przekształci¢wmacierzjednostkow¡
E
(te»stopnian),stosuj¡csko«czon¡
liczb¦operacjielementarnychnawierszachwtedyitylkowtedy,gdymacierz
E
mo»naprzekształci¢wmacierz
A
−
1
,stosuj¡ctesameoperacjewtejsamej
kolejno±ci.
Z powy»szych rozwa»a« mo»emy utworzy¢ nast¦puj¡cy algorytm odwra-
cania macierzy.
Dla macierzy
A
stopnia
n
tworzymy macierz, oznaczan¡ jako [
A
|
E
], po-
wstał¡ z macierzy
A
przez dostawienie macierzy jednostkowej w kolumnach
od
n
+ 1-ej do 2
n
-tej.
Do tej macierzy stosujemy przekształcenia elementarne na wierszach w
taki sposób, aby macierz
A
przekształci¢ w macierz jednostkow¡.
Je±li w pewnym kroku otrzymamy w pierwszej cz¦±ci tej macierzy wiersz
zerowy, to macierz
A
nie jest odwracalna.
W przeciwnym przypadku, po sko«czonej liczbie operacji elementarnych,
po lewej stronie od pionowej kreski otrzymamy macierz jednostkow¡, a po
prawej stronie – macierz odwrotn¡ do macierzy
A
.
Przykład11
Znale¹¢ macierz odwrotn¡ do macierzy
A
,
gdzie
A
=
2
4
1
−
1
−
4
2 1
−
2
4
−
1
−
1
3
5
.
4
Tworzymy macierz „podwójn¡” [
A
|
E
]
.
2
1
−
1
−
4 1 0 0
2 1
−
2 0 1 0
4
−
1
−
1 0 0 1
3
4
5
.
Do wiersza drugiego dodajemy pierwszy pomno»ony przez
−
2 i do wiersza
trzeciego dodajemy pierwszy pomno»ony przez
−
4
.
Otrzymujemy macierz
„podwójn¡”, maj¡c¡ posta¢:
2
1
−
1
−
4
1 0 0
3
4
5
.
0
3
6
−
2 1 0
0
3 15
−
4 0 1
Nast¦pnie do trzeciego wiersza dodajemy wiersz drugi pomno»ony przez
−
1. Otrzymujemy
2
4
1
−
1
−
4
1
0 0
3
5
.
0
3
6
−
2
1 0
0
0
9
−
2
−
1 1
Mno»ymy drugi wiersz przez
1
3
, a trzeci przez
1
9
.
2
4
1
−
1
−
4
1
0 0
3
5
.
0
1
2
−
2
3
1
3
0
0
0
1
−
2
9
−
1
9
1
9
Teraz do drugiego wiersza dodajemy trzeci pomno»ony przez
−
2 oraz do
pierwszego wiersza dodajemy trzeci pomno»ony przez 4
.
2
1
−
1 0
1
9
−
4
9
4
9
0
3
4
1 0
−
2
9
5
9
−
2
9
5
.
0
0 1
−
2
9
−
1
9
1
9
Na koniec do pierwszego wiersza dodajemy drugi.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]