wyklad7-1 ETI, I SEMESTR, Egzaminy z analizy, algebry i podstaw
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
RÓNICZKAFUNKCJI
f
0
(
x
0
)
·
x
Ró»niczk¦oznaczamysymbolem
df
(
x
0
),b¡d¹te»krótko
df
lub
dy
.
Przyrost
x
nazywamyró»niczk¡zmiennejniezale»nej
x
ioznaczamy
symbolem
dx
.
Mamyzatem
=
f
0
(
x
0
)
·
dx
lubkrótko
dy
def
=
f
0
(
x
0
)
·
dx
Definicja
(
ró»niczkifunkcji
)
Ró»niczk¡funkcji
f
wpunkcie
x
0
dlaprzyrostu
x
zmiennejniezale»nej
xnazywamyiloczyn
df
(
x
0
)
def
Uwaga
(
zast.ró»niczkidoobl.przybli»onychwarto±cifunkcji
)
Niechfunkcja
f
mapochodn¡wła±ciw¡wpunkcie
x
0
.Wówczas
f
(
x
0
+
x
)
f
(
x
0
)
+
f
0
(
x
0
)
x
Definicja
(
ró»niczkirz¦dunfunkcji
)
Ró»niczk¡rz¦du
n
funkcji
f
wpunkcie
x
0
dlaprzyrostu
x
zmiennej
niezale»nejxnazywamywyra»enie
=
f
(
n
)
(
x
0
)
·
dx
n
przyczym
dx
n
(
dx
)
n
.Zamiast
d
n
f
(
x
0
)piszemykrótko
d
n
f
.
Je»eli
y
=
f
(
x
),tozamiast
d
n
f
(
x
)piszemytak»e
d
n
y
.St¡d
f
(
n
)
(
x
)
d
n
f
dx
n
d
n
y
d
n
f
(
x
0
)
def
dx
n
Rozwini¦cieTayloraiMaclaurinafunkcji
Definicja
(
wielomianTayloraiMaclaurina
)
Niechfunkcja
f
mawpunkcie
x
0
pochodn¡wła±ciw¡
k
-tegorz¦du,
gdzie
k
2
N
[{
0
}
.Wielomian
k
!
(
x
−
x
0
)
k
nazywamywielomianemTaylorarz¦du
k
funkcji
f
wpunkcie
x
0
.Je»eli
x
0
=
0,towielomiantennazywamywielomianemMaclaurina.
1!
(
x
−
x
0
)
+
2!
(
x
−
x
0
)
2
+...+
f
(
k
)
(
x
0
)
Uwaga
Wielomian
P
k
jestjedynymwielomianemstopnia
k
,któryspełniawa-
runki
P
k
(
x
0
)
=
f
(
x
0
)
,
P
0
k
(
x
0
)
=
f
0
(
x
0
)
,
P
00
k
(
x
0
)
=
f
00
(
x
0
)
,...,
P
(
k
)
k
(
x
0
)
=
f
(
k
)
(
x
0
)
P
k
(
x
)
def
f
00
(
x
0
)
=
f
(
x
0
)
+
f
0
(
x
0
)
Twierdzenie
(
wzórTaylorazreszta¸Lagrange’a
)
Je»elifunkcja
f
spełniawarunki:
1.macia¸gła¸pochodn¡rz¦du
n
−
1naprzedziale[
x
0
,
x
],
2.istniejewła±ciwapochodna
f
(
n
)
naprzedziale(
x
0
,
x
),
toistniejepunkt
c
2
(
x
0
,
x
)taki,»e
f
(
x
)
=
P
n
−
1
(
x
)
+
n
!
(
x
−
x
0
)
n
Uwaga
Twierdzeniepowy»szejestprawdziwerównie»dlaprzedziału[
x
,
x
0
],
wtedy
c
2
(
x
,
x
0
).
f
(
n
)
(
c
)
Uwaga
Równo±¢wyst¦puj¡c¡wtezietwierdzenianazywamywzoremTaylora.
Wyra»enie
f
(
n
)
(
c
)
R
n
(
x
)
def
=
n
!
(
x
−
x
0
)
n
nazywamy
n
-ta¸reszt¡Lagrange’a.
Reszt¦t¦mo»natak»ezapisa¢wpostaci
R
n
(
x
)
=
f
(
n
)
(
x
0
+
x
)
n
!
(
x
)
n
gdzie0
<<
1oraz
x
=
x
−
x
0
.
Dla
x
0
=
0wzórTayloraprzyjmujeposta¢
n
!
x
n
gdzie
c
2
(0
,
x
)dla
x
>
0lub
c
2
(
x
,
0)dla
x
<
0.Równo±¢t¦nazywamy
wzoremMaclaurina.
1!
x
+
f
00
(0)
2!
x
2
+...+
(
n
−
1)!
x
n
−
1
+
f
(
n
)
(
c
)
f
(
n
−
1)
(0)
f
(
x
)
=
f
(0)
+
f
0
(0)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]