Wyk 002 druk, AJD Częstochowa 2010-2013 Matematyka Finansowa, ROK 1, Algebra Jędrzejewski Wykłady, semestr ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ALGEBRA WYKŁAD 2
Układy równa« liniowych
JacekJ¦drzejewski
2010/2011
Spis tre±ci
1
Definicja układu równa« liniowych
2
2
Układy równowa»ne
4
3
Eliminacja Gaussa
6
1
1
Definicja układu równa« liniowych
NiechKb¦dzie ciałem liczb rzeczywistych lub ciałem liczb zespolonych.
Definicja 1
Układemmrówna«liniowychalgebraicznychonniewiadomych
x
1
, x
2
, ..., x
n
nazywamyukładrówna«,maj¡cyposta¢
8
<
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
...
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
...
+
a
2
n
x
n
=
b
2
(1)
:
···························
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
...
+
a
mn
x
n
=
b
m
gdziea
ij
2
K
ib
i
2
K
,gdyi
2{
1
,
2
,...,m
}
orazj
2{
1
,
2
,...,n
}
.
Liczby
a
ij
i
b
j
nazywamy
współczynnikami
układu równa«, przy czym
współczynniki
b
1
, b
2
,
···
,b
m
nazywamy
wyrazamiwolnymi
. Współczynnik
b
i
nazywamy
wyrazemwolnymi
-tego równania.
Układ równa« liniowych jest (jak ka»dy układ równa«) koniunkcj¡ równa«.
Definicja 2
Układrówna«liniowych,wktórymwszystkiewyrazywolnes¡
równezeru,nazywamyjednorodnymukłademrówna«liniowychstowarzyszo-
nymzukładem
(1)
.
Definicja 3
Rozwi¡zaniemukładurówna«liniowych
(1)
nazywamywektor
(
x
1
, x
2
,..., x
n
)
zprzestrzeni
K
n
,któregowspółrz¦dnepodstawionewmiejsce
niewiadomychx
1
,...,x
n
przekształcaj¡wszystkierównaniawrówno±ci.
Mówimy te» czasami, »e wektor (
x
1
, x
2
,..., x
n
) spełnia ka»de z równa«
układu (1).
Układ równa« liniowych, który nie ma »adnego rozwi¡zania, nazywamy
układemsprzecznym
.
Układ równa«, który ma jedno rozwi¡zanie nazywamy
układemoznaczo-
nym
; Układ, który ma wi¦cej ni» jedno rozwi¡zanie (w efekcie ma niesko«-
czenie wiele rozwi¡za«), nazywamy
układemnieoznaczonym
.
2
Mówi¡c o rozwi¡zaniu układu równa« liniowych, mamy na uwadze znale-
zienie wszystkich rozwi¡za« danego układu, czyli zbioru wszystkich rozwi¡-
za« układu.
Współczynniki układu równa« (1) tworz¡ tzw. macierz układu, utworzon¡
ze współczynników tego układu, czyli tabel¦
2
4
3
5
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
... a
mn
(2)
Nazywamy j¡
macierz¡główn¡
A
układurówna«liniowych
(1).
Macierz¡uzupełnion¡(rozszerzon¡)
B
układurówna«liniowych
(1) nazy-
wamy macierz
2
4
3
5
a
11
a
12
... a
1
n
b
1
a
21
a
22
... a
2
n
b
2
... ... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
... a
mn
b
m
(3)
W celu łatwiejszego orientowania si¦, które wyrazy macierzy nale»¡ do
macierzy głównej układu, macierz uzupełnion¡ b¦dziemy zapisywali cz¦sto
w postaci
2
3
a
11
a
12
... a
1
n
b
1
a
21
a
22
... a
2
n
b
2
... ... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
... a
mn
b
m
4
5
Definicja 4
Macierz¡omwierszachinkolumnachiwyrazachwciele
K
nazywamyfunkcj¦przyjmuj¡c¡warto±ciwciele
K
iokre±lon¡wiloczynie
kartezja«skim
{
1
,
2
,...,m
}×{
1
,
2
,...,n
}
,gdzien
2
N
, m
2
N
.Macierz
zapisujemywtabeli
3
2
4
3
5
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
... a
mn
,
cooznacza,»ewarto±ci¡naszejfunkcjidlaargumentu
(
i,j
)
jestliczbaa
i,j
,
nale»¡cadociała
K
.
Mówimy cz¦sto »e wyraz
a
kl
stoi w
k
-tym wierszu i
l
-tej kolumnie macierzy
a
ij
; tak bowiem oznaczamy w skrócie powy»sz¡ macierz.
2
Układy równowa»ne
Definicja 5
Dwaukładyrówna«liniowychztymisamyminiewiadomymi
nazywamyrównowa»nymi,je±limaj¡tensamzbiórrozwi¡za«.
Wynika st¡d, »e dwa układy sprzeczne s¡ równowa»ne; je±li natomiast
jeden z tych układów jest niesprzeczny, to drugi równie» i ka»de rozwi¡zanie
pierwszego układu jest rozwi¡zaniem drugiego układu oraz odwrotnie, ka»de
rozwi¡zanie drugiego układu jest te» rozwi¡zaniem układu pierwszego.
Oznaczaj¡c pierwszy układ jako (
U
I
)
,
a drugi — (
U
II
), b¦dziemy stosowali
oznaczenie (
U
I
)
(
U
II
)
,
gdy układy (
U
I
) i (
U
II
) s¡ równowa»ne. Łatwo
sprawdzamy, »e:
(
U
I
)
(
U
I
)
,
h
i
=
)
h
i
(
U
I
)
(
U
II
)
(
U
II
)
(
U
I
)
,
h
(
U
I
)
(
U
II
)
i
^
h
(
U
II
)
(
U
III
)
i
=
)
h
(
U
I
)
(
U
III
)
i
,
co oznacza, »e ta relacja jest relacj¡ równowa»no±ci i uzasadnia przyj¦t¡ de-
finicj¦.
Definicja 6
Ka»d¡zponi»ejopisanychoperacjinazywamyoperacj¡elemen-
tarn¡naukładachrówna«liniowych:
4
zmianakolejno±cizapisudwóchrówna«układu,
pomno»eniektórego±równaniaprzezliczb¦zciała
K
,ró»n¡odzera,
skre±lenierównania,któregowszystkiewspółczynniki(wł¡czniezwyra-
zemwolnym)s¡równezeru.
dodaniedojednegorównaniainnegorównania,pomno»onegoprzezja-
k¡kolwiekliczb¦zciała
K
.
Twierdzenie 1
Je±liukładrówna«liniowych
(
U
II
)
powstałzukładurówna«
liniowych
(
U
I
)
przezzastosowaniesko«czonejliczbyoperacjielementarnych,
toukładytes¡równowa»ne.
Nietrudno stwierdzi¢, »e je±li w trakcie przekształcania jednego układu
równa« w drugi, otrzymamy równanie, maj¡ce posta¢
0
·
x
1
+ 0
·
x
2
+
...
+ 0
·
x
n
=
d
i
,
gdzie
d
i
6
= 0
,
to równanie jest sprzeczne, a co za tym idzie równie» otrzymany
układ równa« te» jest sprzeczny.
Niekiedy wygodnie jest nie pisa¢ w równaniu liniowym składników o ze-
rowych współczynnikach. Na przykład, zamiast równania
0
·
x
1
+
...
+ 0
·
x
j
−
1
+
j
·
x
j
+
...
+
n
·
x
n
=
b,
b¦dziemy pisali równanie
j
·
x
j
+
...
+
n
·
x
n
=
b.
Je±li z kontekstu jasno wynika, o co chodzi, b¦dziemy pisali równie»
0 =
b.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]