Wyznaczanie przemieszczenia pionowego pręta w kratownicy płaskiej met. Maxwella-Mohra, Materiały PWSZ ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykład 1.1 Kratownica płaska I.
W przypadku kratownicy płaskiej obciążonej, jak na schemacie poniżej, wyznaczyć
przemieszczenie pionowe v węzła C i przemieszczenie poziome u
węzła D. Przyjęto stałą
sztywność prętów
EA
.
Rys. 1. Schemat statyczny kratownicy
Przemieszczenia wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, korzystając ze wzoru
15
l
i
N
N
1
ds
1
15
∑
∫
∑
w
=
i
i
i
=
N
N
1
l
(1)
E
A
EA
i
i
i
i
=
1
0
i
i
=
1
gdzie:
w
- szukane przemieszczenie,
N
- siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od obciążenia zewnętrznego,
i
N
- siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od siły jednostkowej przyłożonej w
węźle, której kierunek pokrywa się z kierunkiem poszukiwanego przemiesz-
czenia,
i
1
i
l
- długość i-tego pręta kratownicy.
I.
Wyznaczenie przemieszczenia pionowego
v
węzła C.
1.
Obliczenie reakcji i sił w prętach od obciążenia zewnętrznego.
Z warunków równowagi dla kratownicy jako całości wyznaczamy reakcje podpór
∑
M
=
0
→
−
P
⋅
3
l
+
R
⋅
4
l
=
0
→
R
=
3
P
A
2
B
B
8
5
∑
P
=
0
→
V
+
R
−
P
=
0
→
V
=
P
iy
A
B
A
8
∑
P
=
0
→
H
A
=
0
Siły w prętach kratownicy wyznaczamy wykorzystując po dwa równania równowagi
zapisane dla kolejnych węzłów. Wyznaczone wartości sił
N
w kratownicy od obciążenia
zewnętrznego zestawiono w tablicy 1 (kolumna 3).
1
i
ix
i
2.
Obliczenie reakcji i sił w prętach od pionowej siły
P
=
1
, przyłożonej w węźle C.
Rys. 2. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
∑
M
1
=
0
→
−
1
⋅
2
l
+
R
1
⋅
4
l
=
0
→
R
1
=
1
A
B
B
2
1
∑
P
1
=
0
→
V
1
+
R
1
−
1
=
0
→
V
1
=
iy
A
B
A
2
∑
P
1
=
0
→
H
1
=
0
ix
A
Wyznaczone wartości sił
N
w kratownicy od obciążenia jednostkowego zestawiono w
1
i
tablicy 1 (kolumna 4).
Tabela 1. Zestawienie wartości sił
N
oraz
N
i wyrażeń
1
i
N
N
1
l
oraz ich sumy.
i
i
i
i
(znak „
-
” oznacza ściskanie pręta)
Pręt
l
i
[m]
N
i
[N]
N
1
i
N
i
l
N
1
[Nm]
i
i
1
l
5
P
1
5
Pl
16
4
64
2
l
15
P
3
45
Pl
16
4
64
3
l
9
P
3
27
Pl
16
4
64
4
l
3
P
1
3
Pl
16
4
64
5
5
l
-
5
5
P
-
5
25
5
Pl
16
2
4
128
6
5
5
l
5
P
5
25
5
Pl
16
2
4
128
A
7
5
l
-
5
5
P
-
5
25
5
Pl
16
2
4
128
2
8
5
l
-
3
5
P
5
-
15
5
Pl
16
2
4
128
9
3
5
l
5
P
5
15
5
Pl
16
2
4
128
10
5
l
-
3
5
P
-
5
15
5
Pl
16
2
4
128
11
3
5
l
5
P
5
15
5
Pl
16
2
4
128
12
5
l
-
3
5
P
-
5
15
5
Pl
16
2
4
128
13
l
-
P
8
5
-
2
1
5
Pl
16
14
l
-
P
4
3
-
1
3
Pl
4
15
l
-
P
8
3
-
2
1
3
pl
16
∑
=
15
40 +
15
5
N
N
1
l
=
Pl
i
i
i
16
1
3.
Obliczenie przemieszczenia pionowego v
węzła C.
Wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy
v
=
∑
=
1
15
40
+
15
5
Pl
Pl
N
N
1
l
=
⋅
≅
4
60
EA
i
i
i
16
EA
EA
i
1
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia jest
zgodny z założonym zwrotem siły jednostkowej (Rys. 2).
II.
Wyznaczenie przemieszczenia poziomego
u
węzła D.
1.
Obliczenie reakcji i sił w prętach od poziomej siły1
P
=
, przyłożonej w węźle D.
Rys. 3. Schemat statyczny
3
i
Wyznaczamy reakcje podpór
∑
M
1
=
0
→
−
1
⋅
l
+
R
1
⋅
4
l
=
0
→
R
1
=
1
A
B
B
4
1
∑
P
1
=
0
→
−
V
1
+
R
1
=
0
→
V
1
=
iy
A
B
A
4
∑
P
1
=
0
→
−
H
1
+
1
=
0
→
H
1
=
1
ix
A
A
N
w kratownicy od obciążenia jednostkowego zestawiono w
tablicy 2 (kolumna 4). Siły w prętach od obciążenia zewnętrznego są takie same jak w tablicy
1 (kolumna 3)
Wyznaczone wartości sił
1
i
Tabela 2. Zestawienie wartości sił
N
oraz
N
i wyrażeń
1
i
N
N
1
l
oraz ich sumy.
i
i
i
i
(znak „
-
” oznacza ściskanie pręta)
Pręt
l
i
[m]
N
i
[N]
N
1
i
N
N
1
l
[Nm]
i
i
i
1
l
5
P
7
35
Pl
16
8
128
2
l
15
P
5
75
Pl
16
8
128
3
l
9
P
3
27
Pl
16
8
128
4
l
3
P
1
3
Pl
16
8
128
5
5
5
l
-
5
P
5
-
25
5
Pl
16
2
8
256
6
5
l
5
5
P
-
5
-
25
5
Pl
16
2
8
256
7
5
l
-
5
5
P
5
-
25
5
Pl
16
2
8
256
8
5
l
-
3
5
P
-
5
15
5
Pl
16
2
8
256
9
3
5
l
5
P
5
15
5
Pl
16
2
8
256
10
5
l
-
3
5
P
-
5
15
5
Pl
16
2
8
256
11
3
5
l
5
P
5
15
5
Pl
16
2
8
256
12
5
l
-
3
5
P
-
5
15
5
Pl
16
2
8
256
13
l
-
P
8
5
1
-
Pl
32
5
4
4
14
l
-
P
4
1
-
Pl
8
3
2
15
l
-
P
8
3
-
Pl
32
9
4
∑
=
15
N
N
1
l
=
9
Pl
i
i
i
32
i
1
2.
Obliczenie przemieszczenia poziomego u węzła D.
Wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy
u =
∑
=
1
15
9
Pl
Pl
N
N
1
l
=
⋅
≅
0
28
EA
i
i
i
32
EA
EA
i
1
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia jest
zgodny z założonym zwrotem siły jednostkowej (Rys. 3).
5
3
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]