Wykład 7 - Ruch Ogólny Elementu Płynu, Energetyka AGH, semestr 3, III Semestr, Mechanika Płynów, Wykłady, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
J. Szantyr - Wykład 7 – Ruch ogólny elementu płynu
Ruch ogólny ciała sztywnego można przedstawić jako sumę
przemieszczenia liniowego i obrotu. Ponieważ płyny nie mają
sztywności postaciowej, w ruchu płynu dochodzi dodatkowo do
odkształcenia elementu płynu.
Ruch ogólny elementu płynu można więc
traktować jako superpozycję
traktować jako superpozycję
przemieszczenia liniowego (translacji),
obrotu względem chwilowego bieguna
oraz odkształcenia (deformacji), które z
kolei można podzielić na liniowe
(objętościowe) i kątowe (postaciowe).
Odkształcenia w przypadku dwuwymiarowym
u
=
i
u
+
j
v
Prędkość ruchu płynu zapisujemy jako:
u
=
i
u
+
j
v
Do odkształcenia liniowego elementu płynu dochodzi gdy składowa
prędkości
u
zmienia się w kierunku
x
i/lub składowa prędkości
v
zmienia się w kierunku
y
(lewa strona rysunku). Prowadzi to do
przyrostu objętości elementu w czasie
dt
o wartość:
gdzie wielkości w nawiasie są prędkościami
odkształcenia liniowego
¶
u
¶
v
+
dxdydt
¶
x
¶
y
¶
v
¶
u
E
=
E
=
yy
¶
y
xx
¶
x
Do odkształcenia postaciowego elementu płynu dochodzi gdy
składowa prędkości u zmienia się w kierunku y i/lub składowa
prędkości v zmienia się w kierunku x (prawa strona rysunku).
Prowadzi to do obrotu ścianek elementu płynu o kąty:
¶
v
¶
u
d
B
=
dt
d
A
=
dt
¶
y
¶
x
Miarą prędkości łącznego odkształcenia postaciowego jest
wyrażenie:
1
¶
u
¶
v
E
=
+
E
=
1
¶
u
+
¶
v
xy
2
¶
y
¶
x
Sztywny obrót elementu płynu można traktować jako sumę dwóch
odkształceń postaciowych tak dobranych, że kąty pomiędzy bokami
elementu pozostają proste. Prędkość kątową takiego obrotu można
zapisać jako:
1
¶
v
¶
u
W
=
−
z
2
¶
x
¶
y
Odkształcenia w przypadku trójwymiarowym
Element płynu wykonuje ruch ogólny
złożony z translacji z prędkością oraz
obrotu względem bieguna O i deformacji. Na
skutek obrotu i deformacji ulega zmianie
wektor łączący punkt A z biegunem. W
ogólnym przypadku wektor ten doznaje
obrotu i zmiany długości. Można napisać:
u
0
¶
=
−
d
(
r
)
(
u
u
)
dt
d
(
¶
r
)
=
(
u
−
u
)
dt
A
0
Przy założeniu małej odległości pomiędzy punktami
O
i
A
można
różnicę ich prędkości rozwinąć w szereg Taylora i wziąć po uwagę
tylko pierwszy wyraz:
1
2
2
u
=
u
+
Ñ
u
×
(
r
−
r
)
+
Ñ
u
×
(
r
−
r
)
......
A
0
0
A
0
0
A
0
2
czyli:
¶
(
D
r
)
¶
u
=
u
−
u
=
=
Ñ
u
×
¶
r
A
0
0
¶
t
Ñ
u
gdzie:
jest tensorem prędkości względnej punktu
A
względem
bieguna
O
0
¶
u
¶
u
¶
u
¶
x
¶
y
¶
z
¶
v
¶
v
¶
v
Ñ
u
=
¶
x
¶
y
¶
z
¶
w
¶
w
¶
w
¶
x
¶
y
¶
z
Gdzie wektor prędkości ma postać:
u
=
i
u
+
j
v
+
k
w
[ Pobierz całość w formacie PDF ]