Wyklad-6 kinematyka ruchu obrotowego punktu materialnego, fizyka 1. pwr, FIZYKA MAIN, rusek fizyka wyklady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 6
Kinematyka ruchu obrotowego punktu materialnego
Ruch po okręgu
Rozważmy ruch punktu materialnego po okręgu. W tym przypadku położenie punktu
A
na okręgu możemy również określić za pomocą współrzędnych
x
,
,
z
w wybranym
dowolnie układzie kartezjańskim. Jednak dogodniej jest określić położenie punktu
A
na
okręgu za pomocą kąta
j
(rys.VI.1).
Chwilową prędkością kątową
albo
kołową
nazywa się
pochodną kąta
j
względem czasu
t
D
j
d
j
w
=
lim
º
º
j
. (VI.1)
D
t
dt
D
t
0
®
w
=
w
=
const
Udowodnimy, że jeżeli
, czyli prędkość kątowa jest stała wtedy
0
j
(
t
)
=
w
×
t
+
j
. (VI.2)
0
0
j
t
=
t
=
0
- wartość kąta
j
Tu
w chwili początkowej
.
0
0
Istotnie po podstawieniu (VI.2) do wzoru (VI.1) otrzymujemy:
D
j
[
w
(
t
+
D
t
)
+
j
]
-
[
w
t
+
j
]
w
×
D
t
0
0
0
0
0
w
=
lim
=
lim
=
lim
=
w
=
const
. (VI.3)
0
D
t
D
t
D
t
D
t
®
0
D
t
®
0
D
t
®
0
Ruch po okręgu ze stałą prędkością kątową
nazywamy
ruchem jednostajnym obrotowym
.
Czas, po upływie, którego punkt materialny
wykonuje jeden obrót nazywamy
okresem ruchu
obrotowego
. Okres ruchu obrotowego oznaczamy
dużą literą
T
. Korzystając z definicji okresu, ze
t
=
0
wzoru (VI.2) otrzymujemy (
):
0
j
(
t
+
T
)
º
2
p
+
j
=
w
×
T
+
j
.
0
0
0
0
Rys.VI.1. Ruch obrotowy
Skąd mamy
2
w
p
T
=
. (VI.4)
0
Wielkość odwrotna do okresu
55
1
w
n
=
T
º
0
. (VI.5)
0
2
p
n
nazywa się
częstością ruchu obrotowego
. Łatwo wyjaśnić sens fizyczny częstości
. W
0
czasie równym okresowi
T
t
=
punkt materialny wykonuje jeden obrót. A zatem w jednostce
n
=
1
/
T
T
=
1
10
0
czasu punkt materialny wykonuje
obrotów. Na przykład, jeżeli
sekundy,
0
to w czasie jednej setnej sekundy punkt wykonuje jeden obrót, a w czasie 1 sekundy punkt
n
=
1
/
T
materialny wykonuje 100 obrotów. Więc częstość
jest liczbą obrotów punktu
0
materialnego w jednostce czasu. Częstość mierzymy w hercach (
Hz
). 1
Hz
= 1
-
s
.
1
W ogólnym przypadku prędkość kątowa
w
może zależeć od czasu. Zmiany prędkości
kątowej w czasie określa
chwilowe przyspieszenie kątowe
:
D
w
d
w
b
=
lim
º
º
w
. (VI.6)
D
t
dt
D
t
0
®
Znajdziemy związek między chwilową prędkością liniową i chwilową prędkością kątową, określoną
wzorem (VI.1).
t
=
t
=
0
Niech w chwili początkowej
punkt
0
materialny znajduje się na okręgu w punkcie
A
, a w chwili
t
=
D
t
- w punkcie
B
(rys.VI.2). Jeżeli rozważamy bardzo mały
czas
t
=
D
t
, długość łuku
AB
jest w
przybliżeniu równa długości cięciwy
AB
.
Przybliżenie to jest tym lepiej spełnione, im
bardziej zmniejszmy odcinek czasowy
t
D
.
Wtedy dla chwilowej liniowej prędkości
Rys.VI.2.
punktu możemy zapisać
AB
u
=
lim
. (VI.7)
D
t
D
t
®
0
Z rys.VI.2 widać, że
æ
D
j
D
j
ö
AB
=
2
×
AC
=
2
×
r
×
sin
»
2
×
r
×
=
r
×
D
j
è
ø
. (VI.8)
2
2
Tu skorzystaliśmy z przybliżenia, że dla małych kątów
sin
a
»
a
.
Po podstawieniu (VI.8) do (VI.7) znajdujemy
56
D
j
u
=
r
×
lim
=
r
×
w
. (VI.9)
D
t
D
t
0
®
Ze wzoru (VI.9) otrzymujemy, że w przypadku ruchu punktu materialnego po okręgu
w
=
const
u
º
u
ze stałą prędkością kątową
, bezwzględna wartość prędkości liniowej
jest
0
też stała.
D
t
®
0
wektor przemieszczenia
r
D dąży do stycznej w
punkcie
A
. A zatem prędkość chwilowa w punkcie
A
jest wektorem stycznym do krzywej w
Z rys.VI.2 wynika, że gdy
tym punkcie, czyli jest prostopadła do wektora wodzącego punktu
r
. Z rys.VI.2 wynika
punktu materialnego poruszającego się po okręgu ciągle
również, że prędkość liniowa u
zmienia swój kierunek. A zatem ruch po okręgu jest ruchem z przyspieszeniem.
Znajdziemy teraz przyspieszenie punktu materialnego poruszającego się po okręgu, w
. Rozważmy znów dwa punkty
A
i
B
(rys.VI.3).
u
=
const
przypadku, gdy prędkość linowa
D
u
=
u
-
u
Z podobieństwa trójkątów
AOB
i
DBE
(rys.VI.3) wynika, że wektor
, który
B
A
pokrywa się z wektorem
DE
ma długość
æ
D
j
ö
DE
=
2
DF
×
=
2
×
u
×
sin
è
ø
2
. (VI.10)
D
j
»
2
×
u
×
=
u
×
D
j
2
A zatem dla długości wektora przyspieszenia możemy zapisać:
DE
d
j
a
=
lim
=
u
×
=
u
×
w
. (VI.11)
D
t
dt
D
t
0
®
Biorąc pod uwagę wzór (VI.9), ze wzoru (VI.10) mamy
u
2
a
=
u
×
w
=
. (VI.12)
r
Kierunek wektora przyspieszenia (VI.12) pokrywa się z kierunkiem wektora
w punkcie
, który przy
D
t
®
0
jest prostopadły do wektora prędkości u
D
u
=
u
-
u
=
DE
B
A
A
(rys.VI.4). A zatem wektor przyspieszenia
a
punktu materialnego jest równoległy do
wektora wodzącego
r
, ale zwrot wektora
a
jest przeciwny do zwrotu wektora
r
. Dlatego
przyspieszenie to nosi nazwę
przyspieszenia radialnego
lub
przyspieszenia dośrodkowego
i
a
.
oznacza się
r
57
Rys.VI.3
Rys.VI.4
Podsumowując możemy powiedzieć, że ruch obrotowy punktu materialnego po okręgu
ze stałą prędkością odbywa się ze stałym dośrodkowym przyspieszeniem skierowanym ku
środkowi okręgu. Bez tego dośrodkowego przyspieszenia ciało (punkt materialny)
a
poruszałoby się wzdłuż wektora prędkości u
.
Istnienie dośrodkowego przyspieszenia
r
powoduje, że ciało ciągle „spada” na środek okręgu i poruszający się punkt materialny
pozostaje na okręgu.
Przyspieszenie styczne i dośrodkowe
n
), (rys.VI.3) skierowany od punktu
A
=
1
Wprowadzając jednostkowy wektor
n
(
ku środkowi okręgu, wektor przyspieszenia dośrodkowego możemy zapisać w postaci:
a
r
2
u
=
×
n
. (VI.13)
r
e
Jednostkowy wektor
n
jest podobny do wektorów jednostkowych bazy układu odniesienia
x
e
i
z
e
. Wektor ten wyznacza jedynie kierunek w przestrzeni. Jednak, w odróżnieniu od
,
y
e
i
z
e
,
y
e
, wektor
n
nie jest wektorem stałym i zmienia swój kierunek wraz ze
wektorów
x
zmianą położenia punktu materialnego na okręgu. Wektor
n
jest skierowany do środka
okręgu, a zatem ma kierunek przeciwny do kierunku wektora wodzącego
r
. Wprowadzając
jednostkowy wektor:
58
n
r
r
=
=
-
n
, (VI.14)
r
przyspieszenie dośrodkowe możemy zapisać w postaci:
2
u
2
. (VI.15)
a
=
-
×
n
º
-
w
×
r
r
r
r
r
(
)
=
×
n
u
/
r
=
w
Tu uwzględniliśmy, że
(patrz wzór (VI.9)) oraz
(patrz wzór (VI.14)).
r
Wektor prędkości chwilowej punktu materialnego poruszającego się po okręgu, jak
widzieliśmy wyżej, jest wektorem stycznym do okręgu w punkcie gdzie znajduje się punkt
n
, styczny do okręgu w punkcie
A
materialny. Wprowadzając jednostkowy wektor
(rys.VI.3):
u
n
=
, (VI.16)
j
u
wektor prędkości chwilowej dla ruchu po okręgu możemy zapisać w postaci:
n
u
=
u
×
=
w
×
×
n
. (VI.17)
j
j
n
jak i wektor
r
n
nie jest stałym wektorem i zmienia swój
Jednostkowy wektor
kierunek przy zmianie położenia punktu materialnego na okręgu.
Korzystając ze wzoru (VI.17) mamy
d
d
u
j
a
r
=
=
u
×
. (VI.18)
dt
dt
Porównując wzór (VI.18) ze wzorem (VI.15), który wyprowadziliśmy rozważając
przypadek ruchu po okręgu ze stałą prędkością kątową, znajdujemy
d
u
2
j
a
=
-
×
n
º
u
×
. (VI.19)
r
r
r
dt
Ze wzoru (VI.19) otrzymujemy ważny dla następnych rozważań wzór:
d
u
j
. (VI.20)
=
-
×
n
r
dt
r
Chociaż wyprowadziliśmy wzór (VI.20) tylko na przykładzie ruchu po okręgu ze stałą
prędkością, okazuje się, że ten wzór jest słuszny w przypadku ruchu po dowolnej krzywej nie
będącej okręgiem. W tym przypadku jednak
r
określa tak zwany
promień krzywizny krzywej
59
[ Pobierz całość w formacie PDF ]