Wyklad03, WSB Gdansk, RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
UDA-PO KL.04.01.01-00-082
/
08-00 Pomorski Port Edukacji i Praktyki - Program Rozwoju Wy»szej
Szkoły Bankowej w Gda«sku
Wykład 3
ZMIENNA LOSOWA – definicja ogólna
Niech b¦dzie zbiorem wyników pewnego do±wiadczenia (czyli zbiorem zdarze« elementarnych).
W zbiorze wyró»niamy rodzin¦ podzbiorów
F
, któr¡ nazywamy
–ciałem.
Rodzin¦ podzbiorów
F
nazywamy –ciałem, je»eli spełnia warunki:
1.
nale»y do
F
,
2. je»eli zdarzenie A nale»y do
F
, to zdarzenie przeciwne A
0
=
\
A te» nale»y do
F
,
3. je»eli zdarzenia A
1
, A
2
,..., nale»¡ do
F
, to suma tych zdarze«
[
n
=1
A
n
te» nale»y do
F
.
Definicja.
Funkcj¦
X
:
!
R
nazywamy
zmienn¡ losow¡
, je»eli zbiór
{
!
:
X
(
!
)
< a
}
nale»y do rodziny
F
, dla dowolnej liczby rzeczywistej
a
.
Przykład.
X
– czas ±wiecenia losowo wybranej ( z pewnej partii) »arówki.
Definicja. Dystrybuant¡
zmiennej losowej
X
nazywamy funkcj¦
F
:
R
!
R
okre±lon¡ wzorem:
F
(
x
) =
P
(
X < x
)
.
Poni»sze dwa twierdzenia s¡ analogiczne jak w przypadku zmiennej losowej dyskretnej.
Twierdzenie.
Dystrybuanta spełnia nast¦puj¡ce własno±ci:
•
lim
x
!1
F
(
x
) = 1,
•
jest funkcj¡ niemalej¡c¡,
•
jest funkcj¡ lewostronnie ci¡gł¡.
x
!−1
F
(
x
) = 0, lim
Twierdzenie.
Je»eli
F
jest dystrybuant¡ zmiennej losowej
X
, to zachodz¡ własno±ci:
•
P
(
X < b
) =
F
(
b
),
•
P
(
X
b
) =
x
!
b
+
F
(
x
),
•
P
(
a
X < b
) =
F
(
b
)
−
F
(
a
),
•
P
(
a < X < b
) =
F
(
b
)
−
lim
lim
x
!
a
+
F
(
x
),
•
P
(
a < X
b
) =
x
!
b
+
F
(
x
)
−
lim
lim
x
!
a
+
F
(
x
),
•
P
(
a
X
b
) =
x
!
b
+
F
(
x
)
−
F
(
a
),
lim
•
P
(
X
=
a
) =
x
!
a
+
F
(
x
)
−
F
(
a
).
lim
•
Mówimy, »e zmienna losowa jest
typu ci¡głego
, je»eli istnieje nieujemna funkcja
f
:
R
!
R
taka,
»e
Z
x
F
(
x
) =
f
(
t
)
dt.
−1
1
Funkcj¦
f
nazywamy
g¦sto±ci¡
zmiennej losowej
X
.
•
W ka»dym punkcie ci¡gło±ci
x
, g¦sto±ci
f
, zachodzi równo±¢:
F
0
(
x
) =
f
(
x
)
.
•
Funkcja g¦sto±ci
f
spełnia dwa warunki:
1.
f
(
x
)
0 dla
x
2
R
,
2.
R
1
−1
f
(
x
)
dx
= 1.
•
Interpretacja.
Z definicji pochodnej mamy:
f
(
x
) =
F
0
(
x
) =
F
(
x
+
dx
)
−
F
(
x
)
dx
P
(
x<X<x
+
dx
)
dx
lim
dx
!1
=
lim
dx
!1
, zatem dla ”niesko«czenie małej” war-
to±ci
dx
mo»emy zapisa¢, »e
f
(
x
)
P
(
x<X<x
+
dx
)
dx
, a st¡d
f
(
x
)
·
dx
P
(
x < X < x
+
dx
). Za-
tem
f
(
x
)
·
dx
jest prawdopodobie«stwem, »e zmienna losowa
X
przyjmuje warto±ci z przedziału
(
x,x
+
dx
).
•
Dla dowolnych licz
a,b
2
R
mamy:
P
(
a
X < b
) =
F
(
b
)
−
F
(
a
) =
R
b
a
f
(
x
)
dx.
•
Je»eli
X
jest zmienn¡ typu ci¡głego to dystrybuanta
F
jest funkcj¡ ci¡gł¡. St¡d dla dowolnych
liczb rzeczywistych
a
i
b
mamy:
1.
P
(
X < a
) =
P
(
X
a
) =
F
(
a
)
2.
P
(
a
X < b
) =
P
(
a < X
b
) =
=
P
(
a
X
b
) =
P
(
a < X < b
) =
F
(
b
)
−
F
(
a
) =
R
b
a
f
(
x
)
dx.
•
Kwantylem rz¦du p (
0
< p <
1
)
zmiennej losowej
X
typu ci¡głego o dystrybuancie
F
i g¦sto±ci
f
nazywamy liczb¦
x
p
, która spełnia warunek
P
(
X < x
p
) =
p
.
Jest to wi¦c taka liczba dla której
F
(
x
p
) =
R
x
p
−1
f
(
x
)
dx
=
p
.
Momenty zmiennej losowej
•
Warto±ci¡ oczekiwan¡
zmiennej losowej
X
typu ci¡głego nazywamy liczb¦:
Z
1
EX
=
xf
(
x
)
dx.
−1
Przyjmujemy, »e warto±¢ oczekiwana istnieje, je»eli
E
|
X
|
<
1
.
Własno±ci warto±ci oczekiwanej:
•
E
(
a
) =
a
•
E
(
aX
) =
aE
(
X
)
•
E
(
X
+
Y
) =
E
(
X
) +
E
(
Y
)
2
•
Wariancj¡
zmiennej losowej
X
nazywamy liczb¦
V arX
=
E
(
X
−
EX
)
2
.
Własno±ci wariancji:
•
V arX
=
E
(
X
2
)
−
E
2
X
•
V ar
(
a
) = 0
•
V ar
(
aX
) =
a
2
V arX
•
V ar
(
X
+
b
) =
V arX
•
Odchyleniem standardowym
zmiennej losowej
X
nazywamy liczb¦:
=
p
V arX.
•
Momentem zwykłym rz¦du
k
zmiennej losowej
X
nazywamy liczb¦:
Z
1
EX
k
=
x
k
f
(
x
)
dx.
−1
•
Momentem centralnym rz¦du
k
zmiennej losowej
X
nazywamy liczb¦:
Z
1
E
(
X
−
EX
)
k
=
(
x
−
EX
)
k
f
(
x
)
dx.
−1
•
Je»eli
X
jest zmienn¡ losow¡ typu ci¡głego i
g
:
R
!
R
jest dowoln¡ funkcj¡ oraz
Y
=
g
(
X
), to warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej
Y
obliczamy nast¦puj¡co:
Z
1
E
(
Y
) =
g
(
x
)
f
(
x
)
dx.
−1
3
Wa»ne rozkłady typu ci¡głego i ich momenty
•
rozkład jednostajny
na przedziale [
a,b
] – rozkład o g¦sto±ci:
1
b
−
a
dla
x
2
[
a,b
]
f
(
x
) =
0
dla
x
62
[
a,b
]
(
b
−
a
)
2
12
Momenty:
EX
=
a
+
b
2
,
V arX
=
•
rozkład wykładniczy
z parametrem
>
0 – rozkład o g¦sto±ci:
e
−
x
dla
x
0
f
(
x
) =
0
dla
x <
0
1
1
Momenty:
EX
=
,
V arX
=
.
•
rozkład normalny standardowy
N
(0
,
1) – rozkład o g¦sto±ci:
p
2
e
−
x
2
f
(
x
) =
2
Je±li zmienna
X
losowa ma rozkład
N
(0
,
1), to zmienna losowa
X
+
m
ma rozkład
N
(
m,
2
) o
g¦sto±ci:
1
p
2
e
−
(
x
−
m
)
2
f
(
x
) =
,
2
2
Momenty:
EX
=
m
,
V arX
=
2
.
•
rozkład gamma
– rozkład o g¦sto±ci:
b
a
(
a
)
x
a
−
1
e
−
bx
dla
x
0
f
(
x
) =
dla
x <
0
,
0
gdzie
a,b >
0.
Je»eli
a
jest liczb¡ naturaln¡, jest to rozkład sumy
a
niezale»nych zmiennych losowych o rozkładzie
wykładniczym z parametrem
b
.
Momenty:
EX
=
b
,
V arX
=
b
2
.
4
•
rozkład beta
– rozkład o g¦sto±ci:
1
B
(
a,b
)
x
a
−
1
(1
−
x
)
b
−
1
dla
x
2
[0
,
1]
f
(
x
) =
dla
x
62
[0
,
1]
,
0
gdzie
a,b >
0.
a
ab
(
a
+
b
)
2
(
a
+
b
+1)
Momenty:
EX
=
a
+
b
,
V arX
=
•
rozkład logarytmiczno-normalny
– rozkład o g¦sto±ci:
(
x
p
2
e
−
(ln
x
−
m
)
2
1
dla
x
0
f
(
x
) =
2
2
0
dla
x <
0
Jest to rozkład zmiennej losowej
Y
=
e
X
, gdy
X
ma rozkład
N
(
m,
2
).
Dodatek
•
Funkcja gamma
Funkcja gamma jest zdefiniowana wzorem:
Z
1
t
a
−
1
e
−
t
dt, a >
0
.
(
a
) =
0
Własno±ci:
1. (
a
) = (
a
−
1)(
a
−
1)
2. (
n
) =
n
!
•
Funkcja beta
Funkcj¦ beta definiujemy wzorem:
Z
1
t
a
−
1
(1
−
t
)
b
−
1
dt, a,b >
0
.
B
(
a,b
) =
0
Własno±ci:
1.
B
(
a,b
) =
(
a
)(
b
)
(
a
+
b
)
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]