Wyklad12(1), matematyka, analiza matematyczna, rachunek różniczkowy, zajęcia, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Równaniaró»niczkowecz¡stkowedrugiegorz¦du
12–1
12 Równania ró»niczkowe cz¡stkowe
drugiego rz¦du,
n
=2
12.1 Zagadnienie Cauchy’ego i charakterystyki
Równania rozwa»ane w niniejszym rozdziale maj¡ ogóln¡ posta¢
F
(
x,y,u,u
x
,u
y
,u
xx
,u
xy
,u
yy
)=0
,
gdzie niewiadom¡ jest funkcja
u
=
u
(
x,y
). Wa»nymi szczególnymi
przypadkami s¡:
•
równanie liniowe o zmiennych współczynnikach
a
(
x,y
)
u
xx
+
b
(
x,y
)
u
xy
+
c
(
x,y
)
u
yy
+
d
(
x,y
)
u
x
+
e
(
x,y
)
u
y
+
f
(
x,y
)
u
=
g
(
x,y
)
,
•
równanie semiliniowe
a
(
x,y
)
u
xx
+
b
(
x,y
)
u
xy
+
c
(
x,y
)
u
yy
=
g
(
x,y,u,u
x
,u
y
)
,
•
równanie quasiliniowe
a
(
x,y,u,u
x
,u
y
)
u
xx
+
b
(
x,y,u,u
x
,u
y
)
u
xy
+
c
(
x,y,u,u
x
,u
y
)
u
yy
=
g
(
x,y,u,u
x
,u
y
)
.
W dalszym ci¡gu ograniczymy rozwa»ania do równa« semiliniowych
(12.1)
a
(
x,y
)
u
xx
+2
b
(
x,y
)
u
xy
+
c
(
x,y
)
u
yy
+
d
(
x,y,u,u
x
,u
y
)=0
.
B¦dziemy zakładali, ze funkcje
a
=
a
(
x,y
),
b
=
b
(
x,y
) i
c
=
c
(
x,y
) s¡
okre±lone i dostatecznie regularne w pewnym obszarze
R
2
oraz
d
=
d
(
x,y,u,p,q
) jest okre±lona i regularna w obszarze cylindrycznym
×
R
3
.
Niech
`
0
, o parametryzacji (
x
0
(
s
)
,y
0
(
s
)),
s
2
[
s
1
,s
2
], b¦dzie zadan¡ krzyw¡
klasy
C
1
zawart¡ w
. Poszukujemy warunków, które pozwol¡ wyznaczy¢ w
sposób jednoznaczny rozwi¡zanie
u
=
u
(
x,y
) równania (12.1) w pewnym
otoczeniu
`
0
. Przez analogi¦ do równa« pierwszego rz¦du, wzdłu»
`
0
zadajemy warto±ci rozwi¡zania
u
(12.2)
u
(
x
0
(
s
)
,y
0
(
s
))=
u
0
(
s
) dla
s
2
[
s
1
,s
2
]
.
Warunkiem koniecznym (lecz nie zawsze dostatecznym) znalezienia
rozwi¡zania jest mo»liwo±¢ wyznaczenia wzdłu»
`
0
warto±ci wszystkich
12–2
SkompilowałJanuszMierczy«ski
pochodnych funkcji
u
wyst¦puj¡cych w równaniu. W tym celu
ró»niczkujemy obustronnie równo±¢ (2) otrzymuj¡c
p
0
(
s
)
x
0
0
(
s
)+
q
0
(
s
)
y
0
0
(
s
)=
u
0
0
(
s
) dla
s
2
[
s
1
,s
2
]
,
(12.3)
gdzie
p
0
(
s
):=
u
x
(
x
0
(
s
)
,y
0
(
s
))
, q
0
(
s
):=
u
y
(
x
0
(
s
)
,y
0
(
s
))
.
Ró»niczkuj¡c funkcje
p
0
(
s
) i
q
0
(
s
) otrzymujemy kolejno
u
xx
(
x
0
(
s
)
,y
0
(
s
))
x
0
0
(
s
)+
u
yy
(
x
0
(
s
)
,y
0
(
s
))
y
0
0
(
s
)=
p
0
0
(
s
)
,
u
xy
(
x
0
(
s
)
,y
0
(
s
))
x
0
0
(
s
)+
u
yy
(
x
0
(
s
)
,y
0
(
s
))
y
0
0
(
s
)=
q
0
0
(
s
)
dla
s
2
[
s
1
,s
2
]. Uwzgl¦dniaj¡c równanie (12.1) otrzymujemy nast¦puj¡cy
układ równa« jakie spełniaj¡ warto±ci pochodnych
u
xx
,
u
xy
,
u
yy
w punkcie
(
x
0
(
s
)
,y
0
(
s
)) krzywej
`
0
au
xx
+ 2
bu
xy
+
cu
yy
=
−
d
x
0
0
u
xx
+
y
0
0
u
xy
=
p
0
0
x
0
0
u
xy
+
y
0
0
u
yy
=
q
0
0
(dla uproszczenia zapisu pomijamy argumenty we wszystkich
wyst¦puj¡cych tu wyra»eniach). Powy»szy układ ma dokładnie jedno
rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy, gdy
6
=0 dla
s
2
[
s
1
,s
2
]
,
a
2
b c
x
0
0
y
0
0
0
0
x
0
0
y
0
0
=
to jest, gdy
a
(
y
0
0
)
2
−
2
bx
0
0
y
0
0
+
c
(
y
0
0
)
2
6
=0 dla
s
2
[
s
1
,s
2
]
.
Zauwa»my, ze z równania (12.3) wynika, »e spo±ród funkcji
u
0
(
s
),
p
0
(
s
) i
q
0
(
s
) co najwy»ej dwie mo»emy zada¢ dowolnie.
Zwykle zadajemy
(12.4)
u
|
`
0
=
u
0
(
s
) dla
s
2
[
s
1
,s
2
]
i
:=
−
p
0
(
s
)
y
0
0
(
s
)+
q
0
(
s
)
x
0
0
(
s
)
@u
@
(12.5)
=
v
0
(
s
) dla
s
2
[
s
1
,s
2
]
.
q
(
x
0
0
(
s
))
2
+(
x
0
0
(
s
))
2
`
0
Przeprowadzone rozwa»ania uzasadniaj¡ przyj¦cie nast¦puj¡cych denicji:
Równaniaró»niczkowecz¡stkowedrugiegorz¦du
12–3
Denicja.Zagadnieniem Cauchy’ego
dla równania (12.1) nazywamy zadanie
polegaj¡ce na znalezieniu rozwi¡zania równania (12.1) spełniaj¡cego
warunki Cauchy’ego
(12.4) i (12.5).
Denicja.
Krzyw¡
klasy
C
1
, o parametryzacji (
x
(
)
,y
(
)),
2
(
1
,
2
),
nazywamy
charakterystyk¡
równania (12.1), gdy
a
(
x
(
)
,y
(
))(
y
0
0
(
))
2
−
2
b
(
x
(
)
,y
(
))
x
0
0
(
)
y
0
0
(
)+
c
(
x
(
)
,y
(
))(
y
0
0
(
))
2
=0
dla wszystkich
2
(
1
,
2
).
12.2 Klasykacja równa« ró»niczkowych cz¡stkowych
drugiego rz¦du
Rozwa»my semiliniowe równanie ró»niczkowe cz¡stkowe drugiego rz¦du
(RSL)
a
(
x,y
)
u
xx
+2
b
(
x,y
)
u
xy
+
c
(
x,y
)
u
yy
+
d
(
x,y,u,u
x
,u
y
)=0
,
gdzie
a,b,c
:
!
R s¡ funkcjami klasy
C
1
okre±lonymi na obszarze
R
2
.
Wyra»enie
L
[
u
] zdeniowane jako
L
[
u
](
x,y
):=
a
(
x,y
)
u
xx
+2
b
(
x,y
)
u
xy
+
c
(
x,y
)
u
yy
nazywamy
cz¦±ci¡ główn¡
równania (RSL).
Denicja.
•
Równanie (RSL) jest
hiperboliczne
w punkcie (
x
0
,y
0
)
2
, gdy
(
b
(
x
0
,y
0
))
2
−
a
(
x
0
,y
0
)
·
c
(
x
0
,y
0
)
>
0
.
•
Równanie (RSL) jest
paraboliczne
w punkcie (
x
0
,y
0
)
2
, gdy
(
b
(
x
0
,y
0
))
2
−
a
(
x
0
,y
0
)
·
c
(
x
0
,y
0
)=0
.
•
Równanie (RSL) jest
eliptyczne
w punkcie (
x
0
,y
0
)
2
, gdy
(
b
(
x
0
,y
0
))
2
−
a
(
x
0
,y
0
)
·
c
(
x
0
,y
0
)
<
0
.
Mówimy, »e równanie (RSL) jest
hiperboliczne
(odp.
paraboliczne
,
eliptyczne
) w obszarze
, gdy jest
hiperboliczne
(odp.
paraboliczne
,
eliptyczne
) w ka»dym punkcie tego obszaru.
12–4
SkompilowałJanuszMierczy«ski
Twierdzenie 12.1
(Posta¢ kanoniczna równania semiliniowego)
.
(1)
Je±li równanie
(RSL)
jest hiperboliczne w obszarze
, to w otoczeniu
ka»dego punktu
(
x
0
,y
0
)
2
istnieje zamiana zmiennych
(
x,y
)
$
(
,
)
klasy C
2
taka, »e w zmiennych
(
,
)
równanie ma posta¢
(RH-PK)
u
−
u
+
...
=0
.
(2)
Je±li równanie
(RSL)
jest paraboliczne w obszarze
, to w otoczeniu
ka»dego punktu
(
x
0
,y
0
)
2
istnieje zamiana zmiennych
(
x,y
)
$
(
,
)
klasy C
2
taka, »e w zmiennych
(
,
)
równanie ma posta¢
(RP-PK)
u
+
...
=0
.
(3)
Je±li równanie
(RSL)
jest eliptyczne w obszarze
, to w otoczeniu
ka»dego punktu
(
x
0
,y
0
)
2
istnieje zamiana zmiennych
(
x,y
)
$
(
,
)
klasy C
2
taka, »e w zmiennych
(
,
)
równanie ma posta¢
(RE-PK)
u
+
u
+
...
=0
.
(
W powy»szych wzorach, ... oznacza wyrazy z pochodnymi rz¦du mniejszego
ni» dwa.
)
Wyra»enie (RH-PK) (odp. (RP-PK), (RE-PK)) nazywamy
postaci¡
kanoniczn¡
równania hiperbolicznego (odp. parabolicznego, eliptycznego).
[ Pobierz całość w formacie PDF ]