Wykład 04 - Rachunek wariacyjny, Inżynieria Oprogramowania - Informatyka, Semestr IV, Metody Elementów ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wprowadzenie do MES
Rachunek wariacyjny
Metody aproksymacyjnego rozwiĢzywania równaı róŇniczkowych
Przykładowe zagadnienia
•
Zagadnienie brachistochrony
(J. Bernoulli 1696)
Dane sĢ ustalone punkty A, B nie leŇĢce na pionowej prostej.
Wyznaczyę liniħ-drogħ, po której punkt materialny zsunie siħ
od A do B w najkrótszym czasie pod wpływem siły ciĢŇenia.
PrħdkoĻę poczĢtkowa w punkcie A jest równa 0.
•
Powierzchnia obrotowa o minimalnym polu
Dane sĢ ustalone punkty A, B nie leŇĢce na pionowej prostej.
Dane sĢ ustalone punkty A, B nie leŇĢce na pionowej prostej.
Wyznaczyę liniħ, która po obrocie wokół osi utworzy
powierzchniħ o najmniejszym polu
•
Powierzchnia o minimalnym polu przechodz
Ģ
ca przez dan
Ģ
krzyw
Ģ
Dana jest krzywa
G
w przestrzeni R
3
. Poszukujemy
powierzchni S, której brzegiem jest
G
, i której pole jest
minimalne
2
Powierzchnia obrotowa o minimalnym polu
a
b
x
u(x)
b
2
p
S
=
2
u
( )
x
1
+
[
u
'
( )
x
]
d
x
®
min
u
(
x
)
a
3
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału
b
Ð
J
( )
u
=
F
(
x
,
u
,
u
'
)
d
x
®
min;
u
( )
a
=
u
,
u
( )
b
=
u
a
b
a
D
J
=
J
( )
u
−
J
(
u
+
h
)
,
h
( )
a
=
h
( )
b
=
0
b
Ð
D
J
=
[
F
(
x
,
u
+
h
,
u
'
+
h
'
)
−
F
(
x
,
u
,
u
'
)
]
d
x
a
¶
F
¶
F
F
(
x
,
u
+
h
,
u
'
+
h
'
)
−
F
(
x
,
u
,
u
'
)
»
F
+
h
+
h
'
+
¶
u
¶
u
'
2
2
2
1
¶
F
¶
F
1
¶
F
2
2
2
h
+
hh
'
+
h
'
+
−
F
2
2
2
¶
u
¶
u
¶
u
'
2
¶
u
'
b
¶
F
¶
F
Ç
×
Ð
D
J
=
h
+
h
'
d
x
+
a
(
u
,
h
)
h
É
Ù
¶
u
¶
u
'
&
)
'
)
(
a
d
J
h
Ä
Ô
4
Æ
Ö
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału
JeŇeli funkcjonał
J(u)
posiada ekstremum dla
u=u
0
to
d
J=
0
dla
u=u
0
b
¶
F
¶
F
Ç
×
Ð
d
( )
h
=
h
+
h
'
d
x
=
0
É
Ù
¶
u
¶
u
'
a
b
b
b
¶
F
¶
F
d
¶
F
Ç
×
Ð
Ð
h
'
d
x
=
h
−
h
d
x
É
Ù
¶
u
'
¶
u
'
d
x
¶
u
'
Ð
¶
u
'
&
¶
u
'
Ð
d
x
É
¶
u
'
Ù
a
a
a
=
0
b
d
Ç
×
Ð
d
J
( )
h
=
h
F
−
F
d
x
=
0
É
Ù
u
u
'
d
x
a
d
F
−
F
=
0
Równanie Eulera
u
u
'
d
x
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]