Wyklad8, matematyka, analiza matematyczna, rachunek różniczkowy, zajęcia, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Układyirównanialinioweostałychwspółczynnikach
8–1
8 Układy i równania liniowe o stałych
współczynnikach
8.1 Denicja układu równa« ró»niczkowych liniowych
o stałych współczynnikach.
Denicja. Układem n równa« ró»niczkowych zwyczajnych liniowych
jednorodnych o stałych współczynnikach
nazywamy układ
x
0
=
A
x
,
(ULSn)
gdzie
A
2
R
n
×
n
.
8.2 Podstawowe własno±ci macierzy
e
tA
Niech
A
=[
a
ij
]
i,j
=1
b¦dzie macierz¡ o wyrazach zespolonych. W niniejszym
rozdziale
k
A
k
oznacza¢ b¦dzie norm¦
n
X
|
a
ij
|
2
)
1
/
2
.
k
A
k
:=(
i,j
=1
Lemat 8.1.
Dla dowolnych macierzy A,B
2
C
n
×
n
zachodzi
(8.1)
k
AB
k¬k
A
kk
B
k
.
(Norm¦ na przestrzeni C
n
×
n
spełniaj¡c¡ własno±¢ (8.1) nazywamy
norm¡
macierzow¡
.)
Dla
A
2
C
n
×
n
i
t
2
R oznaczmy
1
(
tA
)
k
k
!
1!
+
t
2
A
2
2!
+
t
3
A
3
X
=
I
+
tA
e
tA
:=
3!
+
....
k
=0
e
tA
b¦dziemy czasem oznaczali exp(
tA
). Niekiedy spotyka si¦ te» zapis
e
At
,
exp(
At
).
Jak na razie, w powy»szej denicji mamy tylko formalny zapis. Nale»y
udowodni¢, »e powy»szy szereg jest zbie»ny. B¦dzie to tre±ci¡ pierwszej
cz¦±ci poni»szego twierdzenia.
Twierdzenie 8.2.
a)
Dla ka»dego M >
0
, szereg funkcji macierzowych
P
(
tA
)
k
k
=0
k
!
jest zbie»ny jednostajnie na przedziale
[
−
M,M
]
.
b)
Funkcja
R
3
t
7!
e
tA
2
C
n
×
n
jest ró»niczkowalna, oraz
d
dt
e
tA
=
Ae
tA
8
t
2
R
.
8–2
SkompilowałJanuszMierczy«ski
Szkic dowodu.
a) Zbie»no±¢ jednostajna oznacza, »e dla ka»dego
" >
0
istnieje
k
0
2
N takie, »e
k
(
tA
)
j
j
!
X
e
tA
−
< "
j
=0
dla wszystkich
k
-
k
0
i wszystkich
t
2
[
−
M,M
]. Jednak wci¡» jeszcze nie
wiemy, czy
e
tA
istnieje. Lecz powy»sze stwierdzenie mo»emy zast¡pi¢
równowa»nym (odnosz¡cym si¦ do ci¡gów podstawowych): dla ka»dego
" >
0 istnieje
k
1
2
N takie, »e
l
(
tA
)
j
j
!
X
< "
j
=
k
+1
dla wszystkich
k,l
-
k
1
i wszystkich
t
2
[
−
M,M
]. Powy»sza nierówno±¢
wynika z nast¦puj¡cych oszacowa«
l
l
(
tA
)
j
j
!
k
(
tA
)
j
k
j
!
X
X
¬
,
j
=
k
+1
j
=
k
+1
k
(
tA
)
j
k
j
!
=
t
j
k
A
j
k
j
!
¬
M
j
k
A
k
j
j
!
P
j
=0
j
/j
!.
i ze zbie»no±ci szeregu liczbowego
b) Ró»niczkuj¡c formalnie szereg
1!
+
t
2
A
2
2!
+
t
3
A
3
I
+
tA
3!
+
...
wyraz po wyrazie otrzymujemy
!
1!
+
2
tA
2
2!
+
3
t
2
A
3
1!
+
t
2
A
2
A
I
+
tA
+
···
=
A
2!
+
...
.
3!
Z cz¦±ci a) wynika, »e szereg
I
+
t
1!
+
...
jest zbie»ny jednostajnie na
[
−
M,M
] do
e
tA
, zatem szereg
A
(
I
+
t
1!
+
...
) jest zbie»ny jednostajnie na
[
−
M,M
] do
Ae
tA
. Kopiuj¡c dowód twierdzenia o ró»niczkowalno±ci ci¡gu
funkcji rzeczywistych wyraz po wyrazie otrzymujemy, »e je»eli szereg
pochodnych jest zbie»ny jednostajnie (co wła±nie udowodnili±my) i szereg
wyj±ciowy jest zbie»ny cho¢ w jednym punkcie (w oczywisty sposób jest
zbie»ny dla
t
=0), to suma wyj±ciowego szeregu jest ró»niczkowalna i jej
pochodna jest równa sumie szeregu pochodnych.
Układyirównanialinioweostałychwspółczynnikach
8–3
Z powy»szego twierdzenia wynika, »e dla
A
2
R
n
×
n
funkcja macierzowa
t
7!
e
tA
jest rozwi¡zaniem macierzowego równania ró»niczkowego
X
0
=
AX.
Lemat 8.3.
Ae
tA
=
e
tA
A.
Dowód.
Ka»da suma cz¦±ciowa szeregu deniuj¡cego
e
tA
komutuje z
A
.
Twierdzenie 8.4.
a)
e
0
·
A
=
I,
b)
e
(
s
+
t
)
A
=
e
sA
e
tA
dla wszystkich s,t
2
R
,
c)
e
−
tA
=(
e
tA
)
−
1
dla wszystkich t
2
R
.
Dowód.
Cz¦±¢ a) jest oczywista. Aby udowodni¢ b), ustalmy
s
2
R i
oznaczmy
C
(
t
):=
e
(
s
+
t
)
A
. Korzystaj¡c ze wzoru na ró»niczkowanie funkcji
zło»onej łatwo sprawdzi¢, »e
C
0
(
t
)=
Ae
(
s
+
t
)
A
. Zatem funkcja
C
(
·
) jest
rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego dla macierzowego równania
ró»niczkowego liniowego jednorodnego
8
<
:
X
0
=
AX
X
(0)=
e
sA
.
Lecz funkcja macierzowa
D
(
t
):=
e
sA
e
tA
te» spełnia powy»sze zagadnienie
pocz¡tkowe (zauwa»my, »e
D
0
(
t
)=
e
sA
Ae
tA
=
Ae
sA
e
tA
=
AD
(
t
)). Poniewa»
zagadnienie pocz¡tkowego dla liniowego macierzowego równania
ró»niczkowego ma dokładnie jedno rozwi¡zanie nieprzedłu»alne, wynika
st¡d teza.
Aby wykaza¢ c), korzystamy z równo±ci
e
tA
e
−
tA
=
e
(
t
−
t
)
A
=
e
0
·
A
=
I.
Z powy»szych twierdze« wynika, »e gdy
A
jest macierz¡ rzeczywist¡, to
funkcja
t
7!
e
tA
jest macierz¡ fundamentaln¡, za±
(
t
;
s
)=
e
(
t
−
s
)
A
macierz¡
Cauchy’ego dla układu równa« ró»niczkowych liniowych o stałych
współczynnikach (ULSn). Rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego
8
<
:
x
0
=
A
x
x
(
t
0
)=
x
0
jest funkcja wektorowa
t
7!
e
(
t
−
t
0
)
A
x
0
.
8–4
SkompilowałJanuszMierczy«ski
Wzór na uzmiennianie stałych przyjmuje posta¢: rozwi¡zaniem zagadnienia
pocz¡tkowego
8
<
:
x
0
=
A
x
+
h
(
t
)
x
(0)=
x
0
jest funkcja wektorowa
Z
t
e
(
t
−
t
0
)
A
x
0
+
e
(
t
−
s
)
A
h
(
s
)
ds.
t
0
8.3 Dalsze własno±ci
exp(
tA
)
Lemat 8.5.
Je»eli macierze A i B komutuj¡, to
e
t
(
A
+
B
)
=
e
tA
e
tB
8
t
2
R
.
P
(
tA
)
j
k
j
=0
Dowód.
Poniewa»
j
!
komutuje z
B
, przechodz¡c z
k
do
1
otrzymujemy
e
tA
B
=
Be
tA
.
Mamy
d
dt
e
t
(
A
+
B
)
=(
A
+
B
)
e
t
(
A
+
B
)
oraz
d
dt
(
e
tA
e
tB
)=
Ae
tA
e
tB
+
e
tA
Be
tB
=
Ae
tA
e
tB
+
Be
tA
e
tB
=(
A
+
B
)
e
t
(
A
+
B
)
.
Obie funkcje
e
t
(
A
+
B
)
i
e
tA
e
tB
s¡ rozwi¡zaniami zagadnienia pocz¡tkowego
8
<
:
X
0
=(
A
+
B
)
X
X
(0)=
I,
zatem s¡ identyczne.
Gdy macierze
A
i
B
nie komutuj¡, mo»e zachodzi¢
e
t
(
A
+
B
)
6
=
e
tA
e
tB
.
Podobnie, dla układu
x
0
=
A
(
t
)
x
,
gdzie
A
: (
a,b
)
!
R
n
×
n
jest ci¡gł¡ funkcj¡ macierzow¡, wzór na
macierz Cauchy’ego:
Z
t
(
t
;
s
)=exp
A
(
)
d
,
dla dowolnych
s,t
2
(
a,b
)
,
s
Układyirównanialinioweostałychwspółczynnikach
8–5
nie musi zachodzi¢
. Wzór ten jest prawdziwy na przykład,
gdy dla dowolnych
t
1
,t
2
2
(
a,b
) macierze
A
(
t
1
) i
A
(
t
2
)
komutuj¡.
Lemat 8.6.
Niech A
2
C
n
×
n
b¦dzie dowoln¡ macierz¡ i B
2
C
n
×
n
b¦dzie
macierz¡ nieosobliw¡. Wówczas
exp(
t
(
BAB
−
1
))=
Be
tA
B
−
1
8
t
2
R
.
Dowód.
Sprawdzamy, »e równo±¢ zachodzi dla sum cz¦±ciowych, i
przechodzimy do granicy.
Fakt 8.7.
Niech A b¦dzie macierz¡ blokow¡,
"
#
B
0
0
C
A
=
,
gdzie B
2
C
m
×
m
, C
2
C
(
n
−
m
)
×
(
n
−
m
)
. Wówczas
"
#
e
tB
0
0
e
tC
e
tA
=
.
Wniosek.
exp(
t
diag(
a
1
,...,a
n
))=diag(
e
a
1
t
,...,e
a
n
t
)
.
Twierdzenie 8.8.
Niech A
2
C
n
×
n
b¦dzie klatk¡ Jordana,
2
3
1 0
...
0
0
1
...
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
...
0
1
0
........
0
4
5
.
A
=
Wówczas
2
4
3
5
.
e
tt
2
... e
t t
n
−
1
e
t
e
t
1!
2!
(
n
−
1)!
e
t
1!
... e
t
t
n
−
2
0
e
t
(
n
−
2)!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
e
tA
=
0
...
0
e
t
e
t
1!
0
...........
0
e
t
[ Pobierz całość w formacie PDF ]