wyk8 MS 1011, Podręczniki i materiały dydaktyczne, wykłądy, matma
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wyk“ad8
Analizafunkcjiwieluzmiennych
8.1Pojƒciefunkcjewieluzmiennych
Funkcjƒwieluzmiennychde
niujemyanalogiczniejakfunkcjƒjednejzmiennej.
De
nicja8.1.1.Niechdanybƒdziezbi
ó
rDpunkt
ó
wprzestrzeni
R
n
.Je»elika»demupunktowix=
(x
1
;x
2
;:::;x
n
) 2Dprzyporz¡dkowanazostaniedok“adniejednawarto–¢f(x) =y2
R
,tom
ó
wimy,»e
okre–lonazosta“afunkcjanwymiarowejprzestrzeni
R
n
alboinaczejfunkcjanzmiennychf:D!
R
.
Warto–¢funkcjizapisujemyjakof(x)lubf(x
1
;x
2
;:::;x
n
).Elementyx= (x
1
;x
2
;:::;x
n
)nazywamy
argumentamilubzmiennymi,azbi
ó
rD-dziedzin¡funkcji.
Takjakdlafunkcjijednejzmiennejzbi
ó
rpunkt
ó
w(x;f(x))tworzy“w
R
2
wykresfunkcji,takr
ó
wnie»
dlafunkcjinzmiennychzbi
ó
rpunkt
ó
w(x
1
;x
2
;:::;x
n
;f(x
1
;x
2
;:::;x
n
))bƒdzietworzy“wykresfunkcji
wprzestrzeni
R
n+1
.Wszczeg
ó
lno–ci,wykresfunkcjidw
ó
chzmiennychwyznaczamyw
R
3
inazywamy
powierzchni¡funkcyjn¡.Oczywi–cietrudnopatrz¡cnaprzepisfunkcyjnywyobrazi¢sobiegeometryczny
tw
ó
rbƒd¡cyjejwykresem,dlategote»wzastosowaniachin»ynieryjno-technicznychstosujesiƒwszelkiego
rodzajuprzekroje,wekonomiiizokwanty,awmatematycepoziomicezwanewarstwicami.
De
nicja8.1.2.Zbi
ó
rpunkt
ó
w(x
1
;x
2
;:::;x
n
)dlakt
ó
rychfunkcjafprzyjmujesta“¡warto–¢f(x) =c
nazywamywarstwic¡tejfunkcji.
Wszczeg
ó
lno–cidlafunkcjidw
ó
chzmiennychwarstwic¡bƒdzierzutprzekroj
ó
wpowierzchnifunkcyjnej
tejfunkcjinap“aszczyznƒr
ó
wnoleg“¡dop“aszczyznyOXY.
Poniewa»funkcjawieluzmiennychjestuog
ó
lnieniemfunkcjijednejzmiennej,niekt
ó
repojƒciazni¡
zwi¡zanemo»nados“ownieprzenie–¢nafunkcjƒwieluzmiennychiniestrac¡onesensu.Takjestnp.
zdziedzin¡,gdy»takjakpoprzedniojesttozbi
ó
rwszystkichargument
ó
w(x
1
;x
2
;:::;x
n
).Poniewa»
zbioremwarto–cifunkcjijestodpowiednipodzbi
ó
r
R
,tor
ó
wnie»funkcjaograniczonawieluzmiennychjest
de
niowanaidentyczniejakfunkcjaograniczonajednejzmiennej.Analogicznier
ó
wnie»mo»nazde
niowa¢
pojƒciegranicyfunkcjiwieluzmiennych,chocia»wpraktyceliczenietakichgranicjestniecobardziej
skomplikowaneitymzagadnieniemniebƒdziemysiƒzajmowa¢.
Zuwaginatƒanalogiƒmo»emyza“o»y¢,»eintuicyjnieznanejestpojƒciegranicy,wiƒcnatejpodstawie
mo»emyzde
niowa¢pojƒcieci¡g“o–cifunkcjiwpunkcie:
prowadz¡cy:AnetaZgli«ska-Pietrzak
1
De
nicja8.1.3.Niechf:D!
R
orazx
0
2D.M
ó
wimy,»efunkcjafjestci¡g“awpunkciex
0
je»eli
lim
x!x
0
f(x) =f(x
0
).
Takjakwprzypadkufunkcjijednejzmiennej,sprawdzenieci¡g“o–cifunkcjiwieluzmiennychnapod-
stawiepowy»szejde
nicjisprowadzasiƒdosprawdzeniatrzechwarunk
ó
w:czydanypunktnale»ydo
dziedziny,czyistniejeijestsko«czonagranicafunkcjiwtympunkcieiczyjestonar
ó
wnawarto–cifunkcji
dlategopunktu.
De
nicja8.1.4.M
ó
wimy,»efunkcjafjestci¡g“awotwartymzbiorzeD,je»elijestci¡g“awka»dym
punkcietegozbioru.
Kolejnetwierdzeniaiw“asno–cifunkcjici¡g“ejs¡bezpo–rednimprzeniesieniemanalizyfunkcjijednej
zmiennejnaprzypadekwielowymiarowy.
Twierdzenie8.1.1.Suma,r
ó
»nica,iloczyn,ilorazorazz“o»eniefunkcjici¡g“ychs¡funkcjamici¡g“ymi.
Twierdzenie8.1.2(Darboux).Niechfunkcjafbƒdziefunkcj¡ci¡g“¡iniech[x
1
;x
2
] D.W
ó
wczas
je»elif(x
1
)<c<f(x
2
),toistniejetakix2 [x
1
;x
2
],»ef(x) =c.
Inaczejm
ó
wi¡cfunkcjaci¡g“aprzebiegaodjednejwarto–cidodrugiejpoprzezwszystkiewarto–ci
po–rednie.
Twierdzenie8.1.3(Weierstrassa).Funkcjaci¡g“aokre–lonanazbiorzezwartym(domkniƒtymiograni-
czonym)jestograniczonaiosi¡ganatymzbiorzeswojekresy.
Konsekwencj¡tegotwierdzeniajestto,»eje»elirozwa»ymyfunkcjƒliniow¡wieluzmiennychf(x) =
c
0
+c
1
x
1
+c
2
x
2
+:::+c
n
x
n
okre–lon¡nawielo–cianiewypuk“ym(zbiorzedomkniƒtymograniczonymi
wypuk“ym),toosi¡gaonaswojekresywpunktachwierzcho“kowychtegozbioru.
8.2Rachunekr
ó
»niczkowyfunkcjiwieluzmiennych
Pochodnafunkcjijednejzmiennejby“ade
niowanajakogranicailorazur
ó
»nicowegoprzyprzyro–ciear-
gumentud¡»¡cymdozera.Zauwa»my,zedlafunkcjin-zmiennychmamynargument
ó
w,zkt
ó
rychka»dy
mo»euleczmianie.Zak“adaj¡c,»erozwa»amyfunkcjƒf:
R
n
!
R
,dlakt
ó
rejn1argument
ó
wprzyjmuje
sta“e,niezmiennewarto–ci,mo»emytƒfunkcjƒtraktowa¢jakofunkcjƒjednejzmiennejiwanalogicznyspo-
s
ó
brozwa»y¢ilorazr
ó
»nicowy,gdzieprzyrostwarto–cifunkcjizostajespowodowanyzmian¡tylkojednego,
wybranegoargumentux
k
.Niechprzyrostargumentux
k
bƒdzier
ó
wnyh= x
k
.
De
nicja8.2.1.Pochodn¡cz¡stkow¡pierwszegorzƒdufunkcjif :
R
n
!
R
danejwzoremy=
f(x
1
;x
2
;:::;x
n
)wzglƒdemzmiennejx
k
wpunkcie(x
10
;x
20
;:::;x
k0
;:::;x
n0
)nazywamygranicƒilorazu
r
ó
»nicowego:
f(x
10
;x
20
;:::;x
k0
+h;:::;x
n0
) f(x
10
;x
20
;:::;x
k0
;:::;x
n0
)
h
lim
h!0
ioznaczamyj¡
@f(x)
@x
k
dlax=x
0
.
prowadz¡cy:AnetaZgli«ska-Pietrzak
2
Wpraktycepochodn¡cz¡stkow¡funkcjiwieluzmiennychobliczamyjakopochodn¡funkcjijednej
zmiennejx
k
,traktuj¡cpozosta“ezmiennejakosta“e.
Uwaga8.2.1.Dlafunkcjijednejzmiennejwarunkiemkoniecznymr
ó
»niczkowalno–cifunkcjiwdanym
punkcieby“ajejci¡g“o–¢.Istnieniepochodnejwpunkciex
0
by“otur
ó
wnowa»neistnieniustycznejdo
wykresuwtympunkcie.Dlafunkcjiwieluzmiennychniejesttoju»warunekkonieczny.Dlategowlitera-
turzemo»naspotka¢rozr
ó
»nienienapochodn¡s“ab¡(jakwy»ej)orazpochodn¡mocn¡(Frechet’a),kt
ó
r¡
de
niujesiƒjakopochodn¡s“ab¡zdodatkowymwarunkiemstyczno–ci.Istnieniemocnejpochodnejw
punkciex
0
jestr
ó
wnowa»neistnieniup“aszczyznystycznejwtympunkcie,atymsamymfunkcjamusiby¢
wtympunkcieci¡g“a.Wnaszychrozwa»aniachpoprzezpochodn¡bƒdziemyrozumie¢s“ab¡pochodn¡
zde
niowan¡powy»ej.
Pochodnacz¡stkowajestpowszechniewykorzystywanawekonomiijakowielko–¢kra«cowa.Je»eli
przyjmiemy,»eprzyrostargumentuby“jednostkowy,toilorazr
ó
»nicowybƒdzieinformowa“oprzyro–cie
warto–cifunkcjijakinast¡pi“naskutekjednostkowegoprzyrostuargumentux
k
.Sytuacj¡szczeg
ó
lnie
interesuj¡c¡ekonomist
ó
wjesttaka,gdyzmianyargumentus¡kra«cowoma“e.Wtedydochodzimydo
pojƒciapochodnejcz¡stkowej,jakowielko–cikra«cowej.
De
nicja8.2.2.Je»elifunkcjaf:
R
n
!
R
posiadawotoczeniupunktux
0
2Dpochodnecz¡stkowe
pierwszegorzƒdu,towektor
@f(x
0
)
@x
1
@f(x
0
)
@x
2
:::
@f(x
0
)
nazywamygradientemfunkcjiwpunkcie
@x
n
x
0
ioznaczamyrf(x
0
)lubgradf(x
0
).
Gradientpokazujekieruneknajszybszegowzrostufunkcji.Wyznaczonywpunkciex
0
jestprostopad“y
dowarstwicyprzechodz¡cejprzeztenpunkt.
De
nicja8.2.3.Punktemstacjonarnymnazywamytakipunktx
0
dlakt
ó
regorf(x
0
) =0.
Poniewa»pochodnecz¡stkowes¡r
ó
wnie»funkcjami,tomo»emyjeponowniezr
ó
»niczkowa¢wzglƒdem
dowolnejzmiennej,otrzymuj¡cwtenspos
ó
bpochodn¡drugiegorzƒdu.
De
nicja8.2.4.Je»elifunkcjaf:
R
n
!
R
mapochodn¡cz¡stkow¡
@f
@x
i
wotoczeniupunktux
0
oraz
@(
@f
@x
i
)
pochodnatajestr
ó
»niczkowaln¡funkcj¡zmiennejx
j
,toliczbƒ
@x
j
nazywamypochodn¡cz¡stkow¡
drugiegorzƒdufunkcjifwzglƒdemx
i
orazx
j
wpunkciex
0
ioznaczamy
@
2
f
@x
i
@x
j
.
Pochodnatajestfunkcj¡nzmiennych,a
@
2
f
@x
i
@x
j
(x
0
)oznaczawarto–¢tejfunkcjiwpunkciex
0
.
Uwaga8.2.2.Je»elii=j,todrug¡pochodn¡cz¡stkow¡
@
2
f
@x
i
@x
j
(x
0
) =
@
2
f
@x
i
@x
i
(x
0
)oznaczamy
@
2
f
(x
0
)
@x
2
i
De
nicja8.2.5.Je»elif:
R
n
!
R
jestfunkcj¡dwukrotnier
ó
»niczkowaln¡wzglƒdemka»dejzezmien-
nych,tomacierz¡Hesse’golubinaczejhesjanemnazywamymacierzutworzon¡zpochodnychcz¡stkowych
prowadz¡cy:AnetaZgli«ska-Pietrzak
3
drugiegorzƒdupostaci
2
4
3
5
@
2
f
@x
1
(x
0
)
@
2
f
@x
1
@x
2
(x
0
) :::
@
2
f
@x
1
@x
n
(x
0
)
@x
2
@x
1
(x
0
)
@
2
f
@
2
f
@x
2
(x
0
) :::
@
2
f
@x
2
@x
n
(x
0
)
::: ::: ::: :::
@
2
f
Hf(x
0
) =
@x
n
@x
1
(x
0
)
@
2
f
@x
n
@x
2
(x
0
) :::
@
2
f
@x
2
n
(x
0
)
Twierdzenie8.2.1(Schwarz).Je»eliwpewnymotoczeniupunktux
0
istniej¡ci¡g“epochodnemieszane
@
2
f
@x
i
@x
j
oraz
@
2
f
@x
j
@x
i
,to
@
2
f
@x
i
@x
j
=
@
2
f
@x
j
@x
i
wotoczeniupunktux
0
.
Ztwierdzeniategowynika,»edlafunkcjidwukrotnier
ó
»niczkowalnychhesjanjestmacierz¡syme-
tryczn¡.
Rachunekr
ó
»niczkowyfunkcjiwieluzmiennychmo»emywykorzysta¢takjakwprzypadkufunkcjijed-
nejzmiennej
dobadaniapewnychw“asno–cifunkcji.Wcze–niejwspomnianezosta“oozastosowaniutego»
rachunkudoanalizyzmianwarto–cifunkcjinaskutekprzyrostuargumentu,akolejnymzastosowaniem
bƒdzieanalizaekstrem
ó
wfunkcjiwieluzmiennych.
De
nicja8.2.6.NiechX
R
n
.Powiemy,»efunkcjaf:X!
R
mawpunkciex
0
2X
maksimumlokalne,gdy
9
r>0
9
K(x
0
;r)X
8
x2K(x
0
;r)
f(x) f(x
0
)
maksimumlokalnew“a–ciwe,gdy
9
r>0
9
K(x
0
;r)X
8
x2K(x
0
;r)nx
0
f(x)<f(x
0
)
minimumlokalne,gdy
9
r>0
9
K(x
0
;r)X
8
x2K(x
0
;r)
f(x) f(x
0
)
minimumlokalnew“a–ciwe,gdy
9
r>0
9
K(x
0
;r)X
8
x2K(x
0
;r)nx
0
f(x)>f(x
0
)
De
nicjatajestw“a–ciwiepowt
ó
rzeniemde
nicjiekstremumlokalnegodlafunkcjijednejzmiennej,
gdy»warto–cifunkcjiwieluzmiennychs¡liczbamirzeczywistymi,mo»emywiƒcjepor
ó
wnywa¢.St¡d,
takjakpoprzednio,ekstremumjestde
niowanejakopunkt,wkt
ó
rymfunkcjaprzyjmujelokalnie(bow
pewnymotoczeniutegopunktu)warto–¢najwiƒksz¡(maksimum)lubnajmniejsz¡(minimum).
Oczywistejest,zepowy»szede
nicjewszczeg
ó
lno–cimo»naograniczy¢dofunkcjidw
ó
chzmiennych.
takjakdlafunkcjijednejzmiennej,takr
ó
wnie»dlafunkcjiwieluzmiennychwpraktyceposzukujemy
ekstrem
ó
wkorzystaj¡cztwierdze«.Dlau“atwienianaszychanalizograniczymysiedopodaniatwierdze«
dlafunkcjidw
ó
chzmiennych.
prowadz¡cy:AnetaZgli«ska-Pietrzak
4
Twierdzenie8.2.2(warunekkoniecznyistnieniaekstremumfunkcjidw
ó
chzmiennych).NiechX
R
2
.
Je»elifunkcjaf:X!
R
jestr
ó
»niczkowalna(istniej¡pochodnecz¡stkowepierwszegorzƒduzewzglƒdu
naobiezmienne)iposiadaekstremumlokalnewpunkciex
0
2Xtorf(x
0
) =0.
Innymis“owy,warunkiemkoniecznymistnieniaekstremumlokalnegojestto,abywektorpierwszych
pochodnychcz¡stkowych(gradient)by“wektoremzerowymlubinaczej,bypunkt,wkt
ó
rymznajdujesiƒ
ekstremum,by“stacjonarny.
Twierdzenie8.2.3(warunekwystarczaj¡cyistnieniaekstremumfunkcjidw
ó
chzmiennych).NiechX
R
2
.Niechfunkcjaf:X!
R
bƒdziewpunkciex
0
2Xdwukrotnier
ó
»niczkowalnairf(x
0
) =0.Wtedy
funkcjafposiadawpunkciex
0
minimumlokalnew“a–ciweje»eli
@
2
f
@x
1
@x
1
>0oraz
@
2
f
@
2
f
@x
2
@x
2
@x
1
@x
1
@
2
f
@x
1
@x
2
2
>0
funkcjafposiadawpunkciex
0
maksimumlokalnew“a–ciweje»eli
@
2
f
@x
1
@x
1
<0 oraz
@
2
f
@x
1
@x
2
2
@
2
f
@x
1
@x
1
@
2
f
@x
2
@x
2
>0
@
2
f
@x
1
@x
2
2
Je»eli
@
2
f
@x
1
@x
1
= 0oraz
@
2
f
@x
1
@x
1
@
2
f
@x
2
@x
2
= 0totwierdzenienierozstrzygaoistnieniu
ekstremumiwtedynajczƒ–ciejanalizƒprzeprowadzasiƒzwykorzystaniemde
nicji.Je»elinatomiast
wyra»eniapodanewtwierdzenius¡innychznak
ó
wtowpunkcietymfunkcjafnieposiadaekstremum.
Dlaekonomist
ó
wkluczowymproblememjestbadaniereakcjiwarto–cifunkcjinazmianyposzczeg
ó
l-
nychargument
ó
w.Oczywi–ciemo»narozwa»a¢przyrostybezwzglƒdneargument
ó
wx
i
,alebezpor
ó
w-
naniaichzwarto–ci¡pocz¡tkow¡nieumiemystwierdzi¢,czytakiprzyrost(lubspadek)jestdu»yczynie.
Tosamodotyczyreakcjiwarto–cifunkcjinatak¡zmianƒwarto–ciargumentu.Dlategowzastosowaniach
czƒ–ciejwykorzystujesiƒprzyrostywzglƒdne.Stosunekprzyrostuwzglƒdnegowarto–cifunkcjidoprzyro-
stuwzglƒdnegoargumentu
y
y
x
i
x
i
informuje,ilerazyprzyrostwzglƒdnywarto–cifunkcjijestwiƒkszy
odprzyrostuargumentu.Dlafunkcjir
ó
»niczkowalnejy=f(x)jednejzmiennej
y
x
y
y
x
y
x
=
x
y
x
=
x
y
f
0
(x)
lim
x!0
=
lim
x!0
y
lim
x
x!0
Powy»sz¡granicƒstosunkuwzglƒdnegoprzyrostuwarto–cifunkcjidoprzyrostuargumentugdyx! 0
nazywamyelastyczno–ci¡funkcjiy=f(x)wzglƒdemzmiennejxioznaczamyE
f
x
=f
0
(x)
x
f(x)
=
@f
x
f(x)
.
Elastyczno–¢okre–lawprzybli»eniuprocentowyprzyrost(lubspadek)warto–cifunkcjinaskutek1%
przyrostuargumentux.Naprzyk“adje»elielastyczno–¢E
f
x
= 2topowiemy,»eje»elixwzro–nieo1%
towarto–¢funkcjif(x)spadnieo2%.Wprzypadku,gdyE
f
x
= 3tom
ó
wimy,»eje»elixwzro–nieo1%
towarto–¢funkcjif(x)wzro–nieo3%.
Analogiczniejakdlafunkcjijednejzmiennejmo»emyzde
niowa¢pojƒcieelastyczno–cidlafunkcji
wieluzmiennychwykorzystuj¡cpojƒciepochodnejcz¡stkowejotrzymuj¡ctzw.elastyczno–cicz¡stkowe.
Wprzypadkufunkcjiwieluzmiennychy=f(x
1
;x
2
;:::;x
n
)liczymyelastyczno–¢tylkowzglƒdemjednego
zargument
ó
w:E
f
x
i
=f
0
x
i
(x
1
;x
2
;:::;x
n
)
x
i
@x
=
@f(x
1
;x
2
;:::;x
n
)
@x
i
x
i
f(x
1
;x
2
;:::;x
n
)
.St¡dnp.dlafunkcji
f(x
1
;x
2
;:::;x
n
)
prowadz¡cy:AnetaZgli«ska-Pietrzak
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]