wyklad 9, Matematyka, Algebra
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 9
Wielomiany jednej zmiennej
ƞ
Definicja
Wielomianem stopnia
n
Î
N
È{0} nad pier
Ļ
cieniem
K
nazywamy funkcj
ħ
P
:
K
®
K
okre
Ļ
lon
Ģ
wzorem:
P
(
x
) =
a
n
x
n
+
a
n
-1
x
n
-1
+… +
a
1
x
1
+
a
0
,
gdzie
a
i
Î
K
dla
i
=0,1,...,
n
oraz
a
n
¹ 0. Ponadto przyjmujemy,
Ň
e
funkcja
P
(
x
)º0 jest wielomianem stopnia ¥. Elementy
a
i
Î
K
dla
i
=0,1,...,
n
nazywamy
współczynnikami wielomianu
P
(
x
).
Współczynnik
a
0
nazywamy
wyrazem wolnym
, a współczynnik
a
n
nazywamy
najwy
Ň
szym współczynnikiem
wielomianu.
Liczb
ħ
n
nazywamy
stopieniem wielomianu
P
(
x
) i oznaczamy
przez deg(
P
). Stopie
ı
wielomianu b
ħ
d
Ģ
cego funkcj
Ģ
stał
Ģ
jest
0.
ƛ
Przykłady
P
(
x
) = 2
x
3
– 1/3
x
+12, deg(P)=3
P
(
x
) = 2
ix
7
+ 3/4
x
3
– (1+4
i
)
x
2
+ (2-3
i
), deg(P)=7
Mówimy,
Ň
e dwa wielomiany
P
(
x
) =
a
n
x
n
+
a
n
-1
x
n
-1
+… +
a
1
x
1
+
a
0
i
Q
(
x
) =
b
m
x
m
+
b
m
-1
x
m
-1
+…+
b
1
x
+
b
0
s
Ģ
równe
wtedy i tylko
wtedy, gdy
n
=
m
i
a
i
=
b
i
dla ka
Ň
dego
i
=1,2,...,
n
.
Oznaczymy przez
K
[
x
] zbiór wszystkich wielomianów jednej
zmiennej
x
nad pier
Ļ
cieniem
K
.
Je
Ň
eli
P
(
x
),
Q
(
x
) Î
K
[
x
], to mo
Ň
emy w sposób naturalny okre
Ļ
li
ę
sum
ħ
, ró
Ň
nic
ħ
i iloczyn wielomianów, mianowicie:
(
P
+
Q
)(
x
) =
P
(
x
)+
Q
(
x
)
(
P
-
Q
)(
x
) =
P
(
x
)-
Q
(
x
)
(
P
×
Q
)(
x
) =
P
(
x
)
Q
(
x
).
2
ƛ
Przykłady
P
(
x
) = 3
x
2
+
x
-5 i
Q
(
x
) = 2
x
+3.
Wtedy
(
P
+
Q
)(
x
) = 3
x
2
+3
x
-2,
(
P
-
Q
)(
x
) = 3
x
2
-
x
-8,
(
PQ
)(
x
) = 6
x
3
+11
x
2
-7
x
-15.
ƚ
Twierdzenie
Zbiór
K
[
x
] wszystkich wielomianów nad pier
Ļ
cieniem
K
wzgl
ħ
dem dodawania i mno
Ň
enia jest pier
Ļ
cieniem
przemiennym z jedno
Ļ
ci
Ģ
.
ƚ
Twierdzenie
Niech
P
(
x
),
Q
(
x
) b
ħ
d
Ģ
niezerowymi wielomianami pier
Ļ
cieni
K
[
x
], wtedy
deg(
P
+
Q
) £ max(deg
P
, deg
Q
)
deg(
PQ
) = deg
P
+deg
Q
Dowód.
Niech
P
(
x
) =
a
n
x
n
+
a
n
-1
x
n
-1
+… +
a
1
x
1
+
a
0
i
Q
(
x
) =
b
m
x
m
+
b
m
-1
x
m
-1
+…+
b
1
x
+
b
0
, gdzie
a
n
¹0 i
b
m
¹0. Wtedy
P
(
x
)+
Q
(
x
)
= (
a
s
+
b
s
)
x
s
+ (
a
s
-1
+
b
s
-1
)
x
s
-1
+… +(
a
1
+
b
1
)
x
1
+ (
a
0
+
b
0
), gdzie
s
=max(deg
P
, deg
Q
). Poniewa
Ň
deg(
P
+
Q
) £
s
, to st
Ģ
d
otrzymujemy pierwszy warunek.
Drugi warunek wynika z faktu,
Ň
e wielomian
P
(
x
)
Q
(
x
) zawiera
niezerowy jednomian
a
n
b
m
x
n+m
, poniewa
Ň
jego współczynnik
a
n
b
m
¹0, jako iloczyn niezerowych elementów
a
n
¹0 i
b
m
¹0
pier
Ļ
cieni całkowitej
K
.
Ƥ
ƛ
Przykłady
3
1.
P
(
x
) = 3
x
2
+
x
-5 i
Q
(
x
) = 2
x
+3.
(
P
+
Q
)(
x
) = 3
x
2
+3
x
-2,
deg(P)=2, deg(Q)=1
deg(P+Q)=2 =max{deg(P), deg(Q)}
2.
P
(
x
) = 3
x
2
+
x
-5 i
Q
(
x
) =-3x
2
- 2
x
+3.
(
P
+
Q
)(
x
) = -
x
-2,
deg(P)=2, deg(Q)=2
deg(P+Q)=1 <max{deg(P), deg(Q)}=2
ƚ
Twierdzenie
Je
Ň
eli
K
jest pier
Ļ
cieniem całkowitym, to
K
[
x
] jest równie
Ň
pier
Ļ
cieniem całkowitym.
Dowód.
Niech
P
(
x
),
Q
(
x
) s
Ģ
niezerowymi wielomianami w
K
[
x
].
Wtedy deg(
PG
)=deg
P
+deg
Q
>0 i st
Ģ
d wynika,
Ň
e
P
(
x
)
Q
(
x
)¹0.
Ƥ
Algorytm Euklidesa
W pier
Ļ
cieni
K
[
x
] dla danych dwóch wielomianów
P
,
Q
Î
K
[
x
],
gdzie
Q
¹0, nie zawsze istnieje taki wielomian
S
,
Ň
e
P
(
x
) =
Q
(
x
)
S
(
x
), tzn. ze nie ka
Ň
dy wielomian
P
mo
Ň
na podzieli
ę
w
pier
Ļ
cieni
K
[
x
] przez dany ró
Ň
ny od zera wielomian
Q
.
ƞ
Definicja
Mówimy,
Ň
e wielomian
P
Î
K
[
x
] jest podzielny przez
wielomian
Q
Î
K
[
x
], lub
Q
jest
dzielnikiem wielomianu
P
, co
zapisujemy
Q
(
x
) |
P
(
x
), je
Ļ
li istnieje taki wielomian
S
Î
K
[
x
],
Ň
e
P
(
x
) =
Q
(
x
)
S
(
x
).
ƞ
Definicja
4
Wielomian
P
(
x
)Î
K
[
x
] nazywamy
unormowanym
, je
Ļ
li
P
(
x
) ¹0
i najwy
Ň
szy współczynnik wielomianu
P
(
x
) jest równy 1, tj.
P
(
x
) =
x
n
+
a
n
-1
x
n
-1
+… +
a
1
x
1
+
a
0
.
Poka
Ň
emy,
Ň
e je
Ň
eli
K
jest ciałem, to w pier
Ļ
cieniu
K
[
x
]
wykonane jest dzielenie z reszt
Ģ
, tzn. dla dowolnych
wielomianów
P
,
Q
Î
K
[
x
] istniej
Ģ
taki wielomiany
S
,
R
Î
K
[
x
],
Ň
e dla ka
Ň
dego
x
Î
K
spełniony jest warunek
P
(
x
) =
Q
(
x
)
S
(
x
) +
R
(
x
)
oraz stopie
ı
reszty
R
jest mniejszy od stopnia dzielnika
Q
.
Wielomiany
S
(
x
) i
R
(
x
) nazywamy
ilorazem
i
reszt
Ģ
odpowiednio.
ƚ
Twierdzenie (Algorytm Euklidesa)
Niech
K
b
ħ
dzie ciałem, oraz
P
(
x
),
Q
(
x
) Î
K
[
x
],
Q
(
x
) ¹ 0 i
deg
P
(
x
) ³ deg
Q
(
x
). Wtedy istniej
Ģ
jednoznacznie okre
Ļ
lone
wielomiany
S
(
x
),
R
(
x
) Î
K
[
x
] takie,
Ň
e
P
(
x
) =
Q
(
x
)
S
(
x
) +
R
(
x
)
Dowód.
Je
Ļ
li deg
P
(
x
) < deg
Q
(
x
) lub
P
(
x
) =0 to
P
(
x
) =0×
Q
(
x
)
+
P
(
x
), i dowód twierdzenia jest zako
ı
czony.
Niech
P
(
x
) =
a
n
x
n
+
a
n
-1
x
n
-1
+… +
a
1
x
1
+
a
0
¹ 0 oraz
a
n
¹ 0, wi
ħ
c
deg
P
(
x
) =
n
. Niech
Q
(
x
) =
b
m
x
m
+
b
m
-1
x
m
-1
+… +
b
1
x
1
+
b
0
oraz
b
m
¹
0, wi
ħ
c deg
Q
(
x
) =
m
. Przypu
Ļę
my,
Ň
e
m
£
n
. Dowód b
ħ
dziemy
prowadzi
ę
przez indukcj
ħ
za wzgl
ħ
du na deg
P
(
x
).
Je
Ň
eli
n
=0, to
P
(
x
) =
a
0
¹ 0. Poniewa
Ň
m
£
n
, to
m
=0 i
Q
(
x
) =
b
0
¹ 0. Dlatego istnieje
b
0
-1
i
P
(
x
) = (
a
0
b
0
-1
)
b
0
+0, sk
Ģ
d
S
(
x
) =
a
0
b
0
-1
i
R
(
x
) =0.
R
(
x
) =0 lub deg
R
(
x
) < deg
Q
(
x
)
5
Załó
Ň
my,
Ň
e twierdzenie jest udowodnione dla wszystkich
wielomianów stopnia <
n
.
Rozpatrzmy wielomian
H
(
x
) =
P
(
x
) - (
a
n
b
m
-1
)
x
n
-
m
Q
(
x
).
Wielomian
H
(
x
) jest ró
Ň
nic
Ģ
dwóch wielomianów stopnia
n
z
współczynnikami najwy
Ň
szymi
a
n
, sk
Ģ
d wynika,
Ň
e deg
H
(
x
) <
n
.
Wtedy wobec zało
Ň
enia indukcji
H
(
x
) =
Q
(
x
)
T
(
x
) +
R
(
x
),
gdzie
T
(
x
),
R
(
x
) Î
K
[
x
] i
R
(
x
) =0 lub deg
R
(
x
) <
m
. Wobec tego
P
(
x
) =
H
(
x
) +
Q
(
x
)(
a
n
b
m
-1
)
x
n-m
=
Q
(
x
)
T
(
x
) +
R
(
x
) + (
a
n
b
m
-1
)
x
n-m
Q
(
x
)
= Q
(
x
)[
T
(
x
) +(
a
n
b
m
-1
)
x
n-m
] +
R
(
x
)
=
Q
(
x
)
S
(
x
) +
R
(
x
).
Poka
Ň
emy,
Ň
e wielomiany
S
(
x
) i
R
(
x
) s
Ģ
okre
Ļ
lone
jednoznaczne. Przypu
Ļę
my,
Ň
e
P
(
x
) =
Q
(
x
)
S
(
x
)+
R
(
x
) =
Q
(
x
)
S
1
(
x
)+
R
1
(
x
).
Wtedy
Q
(
x
)[
S
(
x
) -
S
1
(
x
)] =
R
1
(
x
) -
R
(
x
).
Je
Ň
eli
S
(
x
) -
S
1
(
x
) ¹0, to deg
Q
(
x
)[
S
(
x
) -
S
1
(
x
)] =
m
, natomiast
deg [
R
1
(
x
) -
R
(
x
)] <
m
. Ta sprzeczno
Ļę
pokazuje,
Ň
e
S
(
x
) -
S
1
(
x
) =0, sk
Ģ
d
S
(
x
) =
S
1
(
x
) oraz
R
1
(
x
) =
R
(
x
).
Ƥ
Przykład
Podzieli
ę
wielomian
P
(
x
) = x
3
+2x
2
+x+2 przez Q(x) = x
2
+2 w
pier
Ļ
cieni Z
3
[x].
x
3
+2x
2
+x+2 = (x
2
+2)(x+2) + (2x+1)
Schemat Hornera
[ Pobierz całość w formacie PDF ]