wyklad 4, Statystyka Matematyczna, Wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->•P(a≤X≤b)===P(a< X≤b)P(a≤X < b)P(a< X < b)9 Funkcja zmiennej losowejW praktyce cz˛ sto interesuje nas rozkład nie samej zmiennej losowej ale wielko´ci która jest funkcja zmiennej lo-es˛˙sowejY=g(X).Funkcja taka, sama jest zmienna losowa dla której mozemy okre´li´ dystrybuant˛ oraz rozkład˛˛s ceprawdopodobie´ stwa (g˛ sto´ci prawdopodobie´ stwa).ne snTwierdzenie 9.1 (Rozkład pr. funkcji dyskretnej zmiennej losowej).NiechXb˛ dziedyskretnazmienna losowa przyjmujaca warto´ci ze zbioruI={x1�½ x2�½ . . .}o rozkładzie pr.pX(xi) =e˛˛˛˛ ˛s˙P(X =xi).WtedyY=g(X)równiez jest dyskretna zmienna losowa o rozkładzie pr. :˛˛˛pY(yk) ====P(Y =yk)P(g(X) =yk)P(X∈ {xj:g(xj) =yk)}�½pX(xj)j:g(xj)=ykPrzykład 9.1 (Dwa rzuty sze´cienna kostka do gry).s˛˛Rzucamy dwa razy sze´cienna kostka do gry.Xniech b˛ dzie suma wyrzuconych oczek. Jaki jest rozkład pr. zmiennejs˛˛eslosowejY=X(mod2)?Yprzyjmuje dwie warto´ci: 0 lub 1.Zmienna losowaXma rozkład prawdopodobie´ stwa:nxi21363236433654366536763685369436103361123612136pX(xi)pY(0) =pX(2) +pX(4) +pX(6) +pX(8) +pX(10) +pX(12) = 1/2pY(1) =pX(3) +pX(5) +pX(7) +pX(9) +pX(11) +pX(13) = 1/2zatem zmienna losowaY=X(mod2)ma rozkład:yi1/211/2pY(yi)W przypadku zmiennej losowej ciagłej, sytuacja jest bardziej skomplikowana˛•NiechXb˛ dzieciagłazmienna losowa o dystrybuancieFXi g˛ sto´ci pr.fX.e˛ ˛˛˛e se s´•NiechY=g(X).Jaka jest g˛ sto´c pr.fY?34•Najpewniejszym sposobem okre´lenia rozkładuYjest obliczenie dystrybuantyFY.s�½fX(x)dxFY(y) =P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=x:g(x)≤yfY(y) =dFY(y)dyPrzykład 9.2 (Funkcja ciagłej zmiennej losowej).˛e s´e ˛Wybieramy losowo punkt wewnatrz okr˛ gu o promieniuR.Jaka jest g˛ sto´c pr. zmiennejYb˛ dacej polem po-˛e´wierzchni koła o promieniu równym odległo´ci wybranego punktu od srodka okr˛ gu?se´Niech≤X≤R-odległo´c wybranego punktu od srodka okr˛ gu. Wtedys´eY=πX2FY(y) =P(Y≤y)===�½�½P πX2≤y�½�½�½P X≤y/π�½�½�½FXy/πFX(x) =�½ �½x2R1�½�½�½y/πFY(y) =FXdlax <dla≤x < Rdlax≥R⇒FY(y) =dlay <dla≤y≤πR2dlay≥πR21dfY(y) =FY(y) =πR2dyyπR21dla≤y≤πR2dlay∈(0�½πR2)/35Twierdzenie 9.2 (G˛ sto´c pr. funkcji zmiennej losowej ciagłej).e s´˛˛ ˛ ˙˛ ´ s˛ ˛˛sJe´lig(X)jestciagła, rózniczkowalna i sci´le rosnacafunkcja (dla wszystkich warto´ci zmiennej losowejX)tzn.s˙niczkowalnafunkcjah=g−1, aXjest zmienna losowa ciagła o g˛ sto´cifXto g˛ sto´cistnieje do niejodwrotna róz˛˛ ˛ ˛ e se s´pr. zmiennejY=g(X)fY(y) =fX[h(y)]·h�½(y)Dowód.FY(y) =P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=P(X≤h(y))=FX[h(y)]fY(y) =dFY(y) =dy==dFX[h(y)]dyddFX[h(y)]·h(y)dhdyfX[h(y)]·h�½(y)Przykład 9.3 (G˛ sto´c pr. funkcji zmiennej losowej ciagłej).e s´˛e s´e ˛Wybieramy losowo punkt wewnatrz okr˛ gu o promieniuR.Jaka jest g˛ sto´c pr. zmiennejYb˛ dacej polem po-˛e´rodka okr˛ gu?wierzchni koła o promieniu równym odległo´ci losowo wybranego punktu od ssefX(x) =2xR2dla< x < RY=g(X)=πX2�½1h�½(y) =√h(y)=g−1(y) =y/π�½2πy�½2y/π11dla< y < πR2fY(y) =fX[h(y)]h�½(y) ==√R22πyπR2Przykład 9.4 (G˛ sto´c pr. funkcji zmiennej losowej ciagłej).e s´˛Wybieramy losowo punkt wewnatrz okr˛ gu o promieniuR.Jaka jest g˛ sto´c pr. zmiennejYb˛ dacej stosunkiem˛ee s´e ˛´promienia okr˛ gu do odległo´ci wybranego punktu od srodka okr˛ gu?ese´Niech≤X≤R- odległo´c wybranego punktu od srodka okr˛ gu. Wtedys´eY=R/XFY(y) =P(Y≤y)=P(R/X≤y)=P(X≥R/y)= 1−FX(R/y)FY(y) = 1−FX(R/y)36FX(x) =�½ �½x2R1dlax <dla≤x < Rdlax≥R⇒FY(y) =dlay <1dlay≥11−1y2fY(y) =dFY(y) =2dy3ydlay <1dlay≥1Dowód.Twierdzenie 9.3 (G˛ sto´c pr. funkcji zmiennej losowej ciagłej).e s´˛Je´lig(X)jestciagła, rózniczkowalna i sci´le malejacafunkcja (dla wszystkich warto´ci zmiennej losowejX)tzn.s˛ ˛ ˙˛ ´ s˛ ˛˛s−1˙˛˛ ˛ ˛ e se s´istnieje do niejodwrotna, rózniczkowalnafunkcjah=g, aXjest zmienna losowa ciagła o g˛ sto´cifXto g˛ sto´cpr. zmiennejY=g(X)fY(y) =−fX[h(y)]·h�½(y)FY(y) =P(Y≤y)===P(g(X)≤y)P(X≥h(y))1−FX[h(y)]fY(y) =dFY(y)dyd[1−FX[h(y)]]dyddh(y)=−FX[h(y)]·dhdy=−fX(h(y))·h�½(y)=Przykład 9.5 (G˛ sto´c pr. funkcji zmiennej losowej ciagłej).e s´˛e s´e ˛Wybieramy losowo punkt wewnatrz okr˛ gu o promieniuR.Jaka jest g˛ sto´c pr. zmiennejYb˛ dacej stosunkiem˛e´promienia okr˛ gu do odległo´ci wybranego losowo punktu od srodka okr˛ gu?esefX(x) =2xR2dla< x < RRXRy2dlay≥1Y=g(X)=h(y)=g−1=R�½yh�½(y) =−fY(y) =−fX[h(y)]h�½(y) =2R/yR2=32y2Ry˙Twierdzenia 8.2 i 8.3 mozna przedstawi´ w formie jednego twierdzenia:cTwierdzenie 9.4 (G˛ sto´c pr. funkcji zmiennej losowej ciagłej).e s´˛˛ ˛ ˙˛ ´ s˛˛sJe´lig(X)jestciagła, rózniczkowalna i sci´le monotonicznafunkcja (dla wszystkich warto´ci zmiennej losowejX)s˙niczkowalnafunkcjah=g−1, aXjest zmienna losowa ciagła o g˛ sto´cifXtotzn. istnieje do niejodwrotna róz˛˛ ˛ ˛e sg˛ sto´c pr. zmiennejY=g(X)e s´fY(y) =fX[h(y)]· |h�½(y)|37Przykład 9.6 (Niemonotoniczna funkcja zmiennej losowej).e s´Wybieramy losowo punkt wewnatrz okr˛ gu o promieniuR.Jaka jest g˛ sto´c pr. zmiennejY= (X−R/2)2, gdzie˛e´Xjest zmienna losowa b˛ daca odległo´cia losowo wybranego punktu od srodka okr˛ gu ?˛˛ e ˛ ˛s ˛eFunkcjaY= (X−R/2)2nie jest monotoniczna w przedziale< x < R,maleje w przedziale[0�½R/2]oraz ro´niesw przedziale[R/2�½R].FY(y) =P(Y≤y)===P((X−R/2)2≤y)√√P(−y≤X−R/2≤y)√√P(R/2−y≤X≤R/2+y)√√FX(R/2 +y)−FX(R/2−y)=˙c ˙W tym momencie mozna albo skorzysta´ z jawnej postaci dystrybuantyFXi potem dokona´ rózniczkowania poyalboc˙˛najpierw rózniczkowa´ poykorzystajac z jawnej postaci g˛ sto´ci prawdopodobie´ stwafX. Korzystajac z drugiegoc˛e snsposobu:dFY(y) =dy√d√[FX(R/2 +y)−FX(R/2−y)]dy√11√=fX(R/2 +y)· √+fX(R/2−y)· √2y2y�½√�½√2(R/2 +y)2(R/2−y)1+=√22RR2y1=√R yfY(y) =a z pierszegoFY(y) ===fY(y) ==√√FX(R/2 +y)−FX(R/2−y)√√(R/2 +y)2−(R/2−y)2R2√2yRdFY(y)dy1√R y10 Parametry rozkładów zmiennych losowychDefinicja 10.1 (Warto´c oczekiwana).s´NiechXb˛ dziedyskretnazmienna losowa o rozkładzie prawdopodobie´ stwap(xi).Warto´cia oczekiwana,E[X],e˛˛˛ns ˛˛nazywamy�½xip(xi)E[X]=µX=i38
[ Pobierz całość w formacie PDF ]