Wykład+5, Studia UE, statystyka, kolo2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Statystyka opisowa, II rok NE, grupy 1-3 B.Z.©
Wykład 8, 9, 10
(29 listopada, 6 oraz 13 grudnia)
Temat
: Metody analizy dynamiki zjawisk
Zjawiska obserwowane w czasie badane są za pomocą metod analizy dynamiki zjawisk. W
tym wypadku mamy do czynienia ze zbiorowością statystyczną dynamiczną. Badanie
dynamiki zjawiska polega na liczbowym określaniu tempa i intensywności zmian badanego
zjawiska w czasie. Dane przedstawiane są w postaci szeregów czasowych.
Szeregiem czasowym
określa się ciąg
{
}
t y
,
, gdzie
t
oznacza numery kolejnych jednostek
t
czasu,
y
oznacza wartość cechy w czasie
t
. Oznacza to, że obserwacje uporządkowane są w
czasie.
Metody analizy szeregów czasowych dzielą się na dwie grupy:
I.
Metody indeksowe: służą do liczbowego określenia tempa i intensywności zmian
zjawiska w czasie.
II.
Metody wyodrębniania tendencji rozwojowej (trendu), wahań okresowych oraz wahań
przypadkowych.
Ad. I Wśród metod indeksowych stosuje się:
1.
przyrosty;
2.
indeksy dynamiki.
1.
Przyrosty
: określa o ile zmienił się poziom danego zjawiska w okresie badanym w
stosunku do okresu bazowego.
Podział: Przyrosty dzielą się na stałe (jednopodstawowe – okres bazowy jest jeden ustalony z
góry) oraz ruchome (łańcuchowe – okresem bazowym jest poprzedni okres).
Przyrosty dzielą się na absolutne i względne:
- absolutne jednopodstawowe:
y
-
y
;
y
-
y
;...,
y
-
y
;
y
-
y
1
k
2
k
n
-
1
k
n
k
- absolutne łańcuchowe:
y
-
y
;
y
-
y
;...,
y
-
y
;
y
-
y
2
1
3
2
n
-
1
n
-
2
n
n
-
1
y
-
y
- względne jednopodstawowe:
d
=
t
k
dla
t
=
1, 2,...,
n
t k
/
k
y
-
y
- względne łańcuchowe:
d
=
t
t
-
1
dla
t
=
2,...,
n
t t
/
-
1
y
t
-
1
2.
Indeksy
: informują o ile procent zmienił się poziom badanego zjawiska w okresie
badanym w stosunku do okresu bazowego.
y
Indeksy jednopodstawowe:
i
=
t
.
t k
/
y
k
y
Indeksy łańcuchowe:
i
=
t
.
t t
/
-
1
y
t
-
1
Jeśli:
i=
0,98 oznacza to, że zjawisko spadło o 2%;
i=
1,20 oznacza że zjawisko wzrosło o
20%;
i=
2,20 – zjawisko wzrosło o 120%.
Średnie tempo zmian
zjawiska w czasie
n
okresów:
i
=
i
×
i
×
...
×
i
=
i
n
-
1
n
-
1
G
n n
/
-
1
n
-
1/
n
-
2
2 /1
n
/1
Średniookresowe tempo zmian:
.
Interpretacja zawsze w procentach.
Jeśli przyjmiemy, że stopa wzrostu (średnie tempo zmian) jest stałe w pewnym okresie to
możemy prognozować, czyli wyznaczać wielkość zjawiska w momencie
n
, znając wartość
początkową zjawiska
T
=
i
-
1
G
(
)
n
y
:
y
=
y
i
.
n
0
G
1
Statystyka opisowa, II rok NE, grupy 1-3 B.Z.©
Przykład: w kolejnych półroczach od 2007 do 2009 roku wielkość produkcji (w tys. ton)
pewnego dobra wynosiła:
I 2007
II 2007
I 2008
II 2008
I 2009
II 2009
y
y
y
y
y
y
128
131
129
134
138
140
Przyrosty absolutne:
a)
jednopodstawowe (za podstawę przyjmuje się I okres, czyli I półrocze 2007 roku): 3,
1, 6, 10, 12.
b)
łańcuchowe: 3, -2, 5, 4, 2.
Przyrosty względne:
3
1
6
a)
jednopodstawowe:
d
=
=
0, 023;
d
=
=
0, 0078;
d
=
0, 0469;
2/1
3/1
4/1
128
128
128
10
12
d
=
=
0, 078;
d
=
=
0, 0094.
5/1
6/1
128
128
-
2
5
b)
łańcuchowe:
d
=
0, 023;
d
=
= -
0, 015;
d
=
=
0, 039
2/1
3/ 2
4/3
131
129
4
2
d
=
= -
0, 0299;
d
=
=
0, 0145.
5/ 4
6/5
134
138
Indeksy:
a)
jednopodstawowe:
131
129
134
138
i
=
=
1, 023;
i
=
=
1, 0078 ;
i
=
=
1, 047;
i
=
=
1, 0781 ;
2/1
3/1
4/1
5/1
128
128
128
128
140
i
=
=
1, 094.
6/1
128
131
129
b)
łańcuchowe:
2/1
i
=
=
1, 023;
i
=
=
0, 985;
3/ 2
128
131
134
138
140
i
=
=
1, 039;
i
=
=
1, 0299;
i
=
=
1, 0145.
4/3
5/ 4
6/5
129
134
138
140
Średniookresowe tempo zmian:
i
=
i
=
=
1, 018
.
5
5
6 /1
128
Ad. II Metody wyodrębniania tendencji rozwojowej
Pojęcia związane z analizą szeregów czasowych:
-
trend -
ogólna tendencja rozwojowa zjawiska w czasie;
-
wahania okresowe
-
zmiany występujące w podobnych rozmiarach w określonych
odstępach czasu;
-
wahania przypadkowe -
losowe.
Wygładzanie szeregu za pomocą równania trendu: ˆ
y
=
at
+
b
.
Parametry równania wyrażają się w następujący sposób:
n
∑
(
)
t
-
t
y
t
t
=
1
a
=
oraz
b
=
y
-
at
n
∑
(
)
2
t
-
t
.
t
=
1
1
n
n
+
1
1
n
∑
∑
gdzie
t
=
t
=
;
y
=
y
.
t
n
2
n
t
=
1
t
=
1
Interpretacja:
a
okresowe tempo zmian (wzrost lub spadek),
b –
stan zjawiska w okresie
wyjściowym (
t=
0).
2
Statystyka opisowa, II rok NE, grupy 1-3 B.Z.©
Przykład c.d.
Obliczanie wartości parametrów równania trendu: wiadomo, że
t
=
3, 5
,
y
=
133, 333
.
(
)
(
)
2
ˆ
y
ˆ
y
t
-
t
y
e
=
y
-
y
e
2
t
t
-
t
t
t
t
1
128
-320
6,25
127,19
0,81
0,6561
2
131
-196,5
2,25
129,647
1,353
1,830609
3
129
-64,5
0,25
132,104
-3,104
9,634816
4
134
67
0,25
134,561
-0,561
0,314721
5
138
207
2,25
137,018
0,982
0,964324
6
140
350
6,25
139,475
0,525
0,275625
Suma:
43
17,5
13,6762
43
Parametr
a
=
=
2, 457
oraz
b
=
133, 333
-
3, 5 2, 457
×
=
124, 473
. Tendencja rozwojowa
17, 5
jest rosnąca. Wielkość produkcji z roku na rok rośnie średnio o 2,457 tony.
Dopasowanie modelu do dany
ch:
n
∑
2
e
t
ˆ
- średni błąd resztowy:
s
=
n
=
i
1
, gdzie
e
=
y
-
y
;
ˆ
y
t
t
t
-
2
s
y
ˆ
- współczynnik zmienności resztowej:
V
=
;
ˆ
y
y
n
1
∑
2
e
t
n
2
- współczynnik zbieżności
j
=
i
=
1
2
(
w mianowniku wystĘpuje wariancja cechy y!!!
)
s
y
Dopas
owanie m
odelu – c.d. przykład
13, 6762
1,849
13, 6762
s
=
=
1,849
2
;
V
=
=
0, 0139
oraz
j
=
=
0,1146
.
ˆ
y
ˆ
y
4
133, 333
119, 333
Linia trendu jest dobrze dopasowana do danych, zatem można wyznaczać na bazie takiego
modelu prognozę.
Przykład: wyznaczyć prognozę wielkości produkcji na drugie półrocze 2010 roku. Rok 2011
odpowiada okresowi
t
= 8:
ˆ
y
=
2, 457 8
×
+
124, 473
=
144,129.
8
3
Statystyka opisowa, II rok NE, grupy 1-3 B.Z.©
Analiza wahaŃ okresowych:
Przykład:
Kwartalna produkcja opakowań szklanych w pewnej hucie w latach 2005-2008 była
następująca:
Rok
Kwartał
Okres
t
Wielkość
produkcji
y
2005
I.
II.
III.
IV.
1
2
3
4
11,8
12,0
10,7
11,8
2006
I.
II.
III.
IV.
5
6
7
8
12,3
12,7
10,9
12,1
2007
I.
II.
III.
IV.
9
10
11
12
12,8
13,3
11,2
12,9
2008
I.
II.
III.
IV.
13
14
15
16
13,6
14,4
11,8
13,8
Wykres rozrzutu wraz z dopasowaną linia trendu: ˆ
y
=
0,1307
t
+
11, 27
15
14
14
16
13
10
13
12
9
6
5
8
12
2
1
4
15
11
11
7
3
10
9
8
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Wartości prognozy wyznaczane na bazie trendu dla kwartału I oraz II byłyby zaniżone, a
wartości prognozy dla kwartału III byłyby zawyżone. Zatem należy uwzględnić tzw.
wskaŹnik wahaŃ sezonowych
.
4
Statystyka opisowa, II rok NE, grupy 1-3 B.Z.©
Procedura postępowania:
y
t
1.
należy uwolnić szereg czasowy od trendu obliczając wartości
w
=
dla
t=
1,2,…,
n
.
t
ˆ
y
t
s
∑
w
i
+ ×
j k
j
=
0
'
2.
obliczyć
surowe wskaŹniki wahaŃ okresowych
, tj.
c
=
dla
i=
1,2,…,
k
i
s
gdzie
s
oznacza liczbę jednoimiennych okresów, a
k
liczbę faz wahań w cyklu.
Surowe wskaźniki informują, o ile procent poziom zjawiska w danej fazie cyklu jest
wyższy lub niższy od poziomu zgodnym z trendem (czyli gdyby nie byłoby wahań).
3.
Obliczyć
czyste wskaŹniki wahaŃ okresowych
c
:
surowe wskaźniki dzielimy przez
średnią arytmetyczną wskaźników surowych, tak aby suma otrzymanych wskaźników
była równa liczbie faz wahań.
Czyste
wskaźniki
'
i
Surowe
wskaźniki
'
Wartości
teoretyczne
ˆ
y
Wielkość
produkcji
Wartości
w
Kwartał
Okres
t
y
c
c
c
=
i
c
I.
II.
III.
IV.
1
2
3
4
11,8
12,0
10,7
11,8
11,40
11,53
11,66
11,79
1,035916
1,062738
0,896321
1,00518
1,035874
1,062695
0,896285
1,005145
1,035024
1,040637
0,917502
1,000611
I.
II.
III.
IV.
5
6
7
8
12,3
12,7
10,9
12,1
11,92
12,05
12,18
12,31
1,031576
1,053575
0,89455
0,982494
1
k
=
∑
i
i
c
c
k
i
=
1
c
=
1, 00004
I.
II.
III.
IV.
9
10
11
12
12,8
13,3
11,2
12,9
12,45
12,58
12,71
12,83
1,028418
1,057486
0,881355
1,004798
I.
II.
III.
IV.
13
14
15
16
13,6
14,4
11,8
13,8
12,97
13,1
13,23
13,36
1,048646
1,099253
0,891879
1,032841
Wyznaczanie prognoz na rok 2011 (poszczególne kwartały to okresy 25-28).
I kwartał:
ˆ
y
=
(0,1307 25
×
+
11, 27) 1, 035874
×
=
15,05902
25
ˆ
II kwartał:
y
=
(0,1307 26
×
+
11, 27) 1, 062695
×
=
15,58782
26
ˆ
III kwartał:
y
=
(0,1307 27
×
+
11, 27) 0,896285
×
=
13,26404
27
ˆ
IV kwartał:
y
=
(0,1307 28
×
+
11, 27) 1, 005145
×
=
15,00642
28
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]