Wykład 4-kraty, Wytrzymałość materiałów
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
KRATOWNICE
1
Definicja:
konstrukcja prętowa, składająca się z prętów prostych połączonych ze sobą
przegubami
pas górny
słupki
krzyżulce
pas dolny
Założenia:
pręty są połączone w węzłach przegubami idealnymi (brak tarcia)
Przykładowa konstrukcja
węzła pasa dolnego
2
blacha
blachownica
osie prętów przecinają się w węźle w jednym punkcie
obciążenie zewnętrzne przyłożone jest tylko w węzłach kratownicy
poprzecznice
podłużnice
dźwigary mostowe
płatwie
krokwie
KRATOWNICE
2
Podstawowe informacje nt. geometrycznej niezmienności ciał płaskich
stopień swobody
- niezależny parametr określający położenie ciała na płaszczyźnie
pojedyncza tarcza
- 3 stopnie swobody: dwa przemieszczenia i jeden obrót. "T"
niezależnych tarcz ma razem 3 T stopni swobody
dwie tarcze
3 SS
1
2
3 SS
6 st. swobody
3 SS
B'
Połączenie 1 prętem
φ
2 SS
1
B
(obrót wokół B - kąt
φ
po okręgu o promieniu AB - wsp. łukowa BB' )
A
, przemieszczenie
2
5 st. swobody
3 SS
Połączenie 2 prętami
1
2
B
1 SS
(obrót wokół B)
4 st. swobody
Połączenie 3 prętami
1
B
2
1
2
3 SS
4 st. swobody
1 SS
3 SS
3 st. swobody
0 SS
3 SS
1
2
0 SS
Połączenie 4 prętami
Wniosek :
dodatkowy pręt łączący dwie tarcze nie zawsze musi odbierać jeden stopień
swobody. Zawsze prawdziwy jest natomiast warunek, mówiący, że:
jeżeli 2 tarcze połączone są tak, że tworzą układ o 3 stopniach swobody (geometrycznie
niezmienny) , to prawdziwy jest związek
32 3
3 st. swobody
×−≤
p
p - liczba prętów
W przypadku połączonych T tarcz tworzących układ o 3 stopniach swobody
3
× − ≤
Tp
3
Stopień geometrycznej niezmienności V
VT p
= × − −
3
3
KRATOWNICE
3
Warunek konieczny (ale nie wystarczający) geometrycznej niezmienności układu
V
=
<
0
0
0
uk ad sztywny
uk ad przesztywniony
ł
ł
UK AD GEOM NIEZMIENNY
ł .
>
uk ad geometrycznie zmienny
ł
środek chwilowego obrotu
V = 3 × 2 - 3 - 3 = 0
V = 3 × 2 - 3 - 3 = 0
Twierdzenia o geometrycznie niezmiennym połączeniu 2 i 3 tarcz
warunkiem koniecznym i wystarczającym połączenia 2 tarcz w sposób geometrycznie
niezmienny jest połączenie ich co najmniej trzema prętami (V
≤
0), które nie są równoległe,
ani ich kierunki nie przecinają się w jednym punkcie (środek chwilowego obrotu)
warunkiem koniecznym i wystarczającym połączenia 3 tarcz w sposób geometrycznie
niezmienny jest połączenie każdych dwóch co najmniej dwoma prętami (V
≤
0) w taki
sposób, aby pręty te nie były równoległe, ani też punkty przecięcia się kierunków prętów
łączących każde dwie tarcze nie leżały na jednej prostej, oraz aby nie schodziły się w
jednym punkcie.
Kratownice
W kratownicach - tarcze (każdy pręt kratownicy stanowi jedną tarczę) połączone są
przegubami, co odpowiada połączeniu 2 prętami
≡
w - liczba węzłów (punktów, w których schodzą się co najmniej 2 tarcze, tzn. pręty kratownicy
T - liczba tarcz (prętów kratownicy)
b - liczba biegunów prostych
VT p
= × −−
3
3
⇒
= × − ×−
2
b
3
T = 1
b = 2
w = 0
T = 2
b = 3
w = 1
T = 3
b = 5
w = 1
b = 2 T - w
VwT
3
VT
3
= − −
2
KRATOWNICE
4
w = 4
T = 4
V = 2 × 4 - 4 -3 = 1
ukł. geometrycznie
zmienny
w = 3
T = 3
V = 2 × 3 - 3 -3 = 0
+ tw. o geom. niezmienności 3 tarcz
ukł
.
geometrycznie
niezmienny
C
w = 6
T = 9
V = 2 × 6 - 9 -3 = 0
+ tw. o geom. niezmienności 2 tarcz
ukł. geometrycznie niezmienny
D
F
A
G
B
wewnętrzna geometryczna niezmienność kratownicy
- niezmienność kratownicy bez
uwzględniania sposobu jej połączenia z podłożem
zewnętrzna geometryczna niezmienność kratownicy
- geometryczna niezmienność
połączenia kratownicy z podłożem
Zredukowany układ sił wewnętrznych w przekroju poprzecznym pręta kratownicy
L
α − α
x
M
D
α
E
B
D
N
B
Q
A
C
α
A
C
na długości pręta DE
q (x) = 0
dM
dx
( )
=
0
⇒
Mx ax b
= +
2
M
( )
00
=
⇒
b
=
0
ML
( )
=
0
⇒
a
=
0
M
≡
0
,
Q
≡
0
WNIOSEK:
układ sił wewnętrznych redukuje się w przekroju poprzecznym każdego pręta
kratownicy do siły podłużnej N.
2
KRATOWNICE
5
Twierdzenia o prętach zerowych
Definicja :
pręt zerowy to pręt, w którym siła N=0
Twierdzenie :
jeżeli kratownica obciążona dowolnym układem sił zewnętrznych pozostaje w
równowadze, to w równowadze pozostaje również każdy węzeł obciążony siłami zewnętrznymi i
wewnętrznymi występującymi w przekrojach prętów schodzących się w tym węźle.
twierdzenie 1
Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się 2 pręty i węzeł jest nieobciążony, to siły wewnętrzne
w obu prętach są równe zeru
y
N
1
α
N
2
∑
∑
XN
1
cos
sin
α
α
+ =
N
2
0
⇒
NN
=
0
x
12
YN
=
0
1
twierdzenie 2
Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się 2 pręty i węzeł jest obciążony siłą leżącą na kierunku
jednego z nich, to siła wewnętrzne w drugim pręcie jest równa zeru
y
N
1
P
α
N
2
x
∑
1
YN
=
sin
α
= ⇒ =
N
0
1
twierdzenie 3
Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się 3 pręty, z których dwa leżą na tej samej prostej i
węzeł jest nieobciążony, to siła w trzecim pręcie jest równa zeru
N
2
α
N
1
x
N
3
∑
3
XN
=
sin
α
= ⇒ =
N
0
ilustracja zastosowania twierdzeń o prętach zerowych
T1
T2
0
0
0
0
0
T3
T3
T3
0
0
0
0
0
0
=
,
=
0
0
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]