Wyklad 3a, Studia materiały
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 3
r. ak. 2011/2012
Wybrane charakterystyki funkcji u
Ŝ
yteczno
ś
ci
1
1
2
1
u
:
R
®
R
u
:
R
®
R
+
+
Przyrost
bezwzgl
ę
dny
D
u
=
u
(
x
+
D
x
)
-
u
(
x
)
D
u
=
u
(
x
+
D
x
,
x
)
-
u
(
x
,
x
)
1
1
1
1
2
1
2
D
u
=
u
(
x
,
x
+
D
x
)
-
u
(
x
,
x
)
D
x
=
x
-
x
1
2
2
1
2
2
1
D
u
u
(
x
+
D
x
,
x
)
-
u
(
x
,
x
)
1
1
2
1
2
=
Przyrost
wzgl
ę
dny
D
x
D
x
1
1
u
(
x
+
D
x
)
-
u
(
x
)
D
u
1
1
=
D
x
D
x
D
u
u
(
x
,
x
+
D
x
)
-
u
(
x
,
x
)
1
2
2
1
2
=
D
x
D
x
2
2
2
1
Dana jest róŜniczkowalna funkcja uŜyteczności
.
u
:
R
®
R
+
Df. 3.1 Kra
ń
cow
ą
u
Ŝ
yteczno
ś
ci
ą
- tempem wzrostu funkcji u
Ŝ
yteczno
ś
ci
względem
i
-tego
towaru nazywamy wyraŜenie:
u
(
x
+
D
x
,
x
)
-
u
(
x
,
x
)
¶
u
(
x
,
x
)
i
i
j
i
j
1
2
(1)
T
(
x
,
x
)
=
lim
=
,
i
,
j
=
1
2
i
¹
j
i
1
2
D
x
¶
x
D
x
®
0
i
i
które określa o ile
w przybli
Ŝ
eniu
zmieni się (zwiększy, zmniejszy lub pozostanie
2
niezmieniona) uŜyteczność koszyka towarów
,
jeŜeli ilość
i
-
tego towaru
x
=
(
x
,
x
)
Î
R
1
2
+
wzrośnie o umowną jednostkę, a ilość drugiego towaru nie zmieni się.
Uwaga 3.1
W teorii popytu
tempo wzrostu funkcji u
Ŝ
yteczno
ś
ci
nazywane jest na ogół
kra
ń
cow
ą
2
u
Ŝ
yteczno
ś
ci
ą
i-
tego towaru w koszyku towarów
x
=
(
x
,
x
)
Î
R
.
1
2
+
Df. 3.2 Stop
ą
wzrostu funkcji u
Ŝ
yteczno
ś
ci
1
względem
i
-tego towaru nazywamy wyraŜenie:
u
(
x
+
D
x
,
x
)
-
u
(
x
,
x
)
1
¶
u
(
x
,
x
)
1
i
i
j
i
j
1
2
S
(
x
,
x
)
=
lim
=
=
i
1
2
D
x
u
(
x
,
x
)
¶
x
u
(
x
,
x
)
D
x
®
0
i
1
2
i
1
2
(2)
(
)
T
x
,
x
i
1
2
=
,
i
,
j
=
1
2
u
(
x
,
x
)
1
2
1
W teorii popytu pojęcie stopy wzrostu funkcji uŜyteczności jest bardzo rzadko uŜywane.
Dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
19
Wykład 3
r. ak. 2011/2012
które określa o ile
w przybli
Ŝ
eniu
%
zmieni się (zwiększy, zmniejszy lub pozostanie
2
niezmieniona) uŜyteczność koszyka towarów
x
=
(
x
,
x
)
Î
R
,
jeŜeli ilość
i
-
tego towaru
1
2
+
wzrośnie o umowną jednostkę, a ilość drugiego towaru nie zmieni się.
Df. 3.3 Elastyczno
ś
ci
ą
funkcji u
Ŝ
yteczno
ś
ci
względem
i
-tego towaru nazywamy wyraŜenie:
u
(
x
+
D
x
,
x
)
-
u
(
x
,
x
)
i
i
j
i
j
u
(
x
,
x
)
¶
u
(
x
,
x
)
x
1
2
1
2
i
E
(
x
,
x
)
=
lim
=
=
i
1
2
D
x
¶
x
u
(
x
,
x
)
D
x
®
0
i
i
1
2
(3)
x
i
T
(
x
,
x
)
i
1
2
=
x
=
S
(
x
,
x
)
x
,
i
,
j
=
1
2
i
i
1
2
i
u
(
x
,
x
)
1
2
które określa o ile
w przybli
Ŝ
eniu
% zmieni się (zwiększy, zmniejszy lub pozostanie
2
niezmieniona) uŜyteczność koszyka towarów
,
jeŜeli ilość
i
-
tego towaru
x
=
(
x
,
x
)
Î
R
1
2
+
wzrośnie o 1%, a ilość drugiego towaru nie zmieni się.
Tab. 3.1. Kra
ń
cowe u
Ŝ
yteczno
ś
ci, stopy wzrostu i elastyczno
ś
ci dla wybranych funkcji
u
Ŝ
yteczno
ś
ci
2
.
Kra
ń
cowa
u
Ŝ
yteczno
ść
Stopa wzrostu
u
Ŝ
yteczno
ś
ci
Elastyczno
ść
u
Ŝ
yteczno
ś
ci
Funkcja u
Ŝ
yteczno
ś
ci
Liniowa
a
a
x
i
i
i
S
i
x
(
)
=
∑
=
E
i
x
(
)
=
∑
=
T
i
x
(
=
)
=
a
2
2
2
i
u
(
x
)
=
a
x
a
x
a
x
∑
=
i
i
i
i
i
i
i
1
2
i
1
i
1
i
1
i
=
1
2
i
=
1
2
1
a
>
0
x
Î
R
,
i
=
1
2
i
i
+
Potęgowa
(multiplikatywna)
a
1
S
(
x
)
=
1
a
-
1
a
x
1
2
a
a
T
(
x
)
=
a
ax
x
E
(
x
)
=
a
1
2
1
u
(
x
)
=
ax
x
1
1
1
2
1
1
1
2
a
a
-
1
E
(
x
)
=
a
1
2
T
(
x
)
=
a
ax
x
a
+
2
2
a
,
a
>
0
x
Î
R
,
2
2
1
2
2
S
(
x
)
=
i
i
1
2
x
i
=
1
2
2
2
Charakterystyki w tabeli 3.1 są skalarnymi i dwuargumentowymi funkcjami ilości towarów w koszykach
towarów
2
+
x
. NaleŜy jednak pamiętać, Ŝe ekonomiczna interpretacja poszczególnych charakterystyk
powinna dotyczyć wartości tych funkcji, a nie funkcji jako takich.
Î
Dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
20
Wykład 3
r. ak. 2011/2012
Logarytmiczna
a
a
a
i
i
S
i
x
(
)
=
,
E
i
x
(
)
=
∑
=
,
i
T
i
x
(
)
=
,
2
2
2
x
a
ln
x
a
ln
x
u
(
x
)
=
a
ln
x
,
x
∑
=
∑
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
1
i
1
i
1
i
=
1
2
i
=
1
2
i
=
1
2
1
a
>
0
x
Î
int
R
i
i
+
Addytywna
2
a
-
1
a
-
1
a
T
(
x
)
=
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
u
(
x
,
x
)
=
a
x
∑
=
i
i
i
i
i
i
i
S
(
x
)
=
∑
=
E
(
x
)
=
∑
=
1
2
i
i
i
i
i
1
2
2
i
=
1
2
a
a
a
x
a
x
a
,
a
>
0
i
i
i
i
i
1
i
1
i
=
1
2
i
=
1
2
i
=
1
2
E
(
x
)
=
i
S
(
x
)
=
CES
i
q
-
1
T
(
x
)
=
q
2
g
i
-
1
∑
q
a
x
g
a
x
g
2
q
g
(
)
∑
q
q
a
x
g
a
x
g
-
1
i
i
i
i
g
g
u
(
x
)
=
a
x
+
a
x
-
1
g
2
i
i
i
i
i
=
1
=
1
2
g
g
g
-
1
1
2
=
q
a
x
a
x
∑
=
i
=
1
=
i
i
i
i
q
(
)
1
i
1
a
>
0
x
Î
R
,
q
>
0
q
g
g
(
)
a
x
+
a
x
g
i
g
i
+
g
g
a
x
+
a
x
1
1
2
2
i
=
1
2
g
(
)
1
1
2
2
Î
-
1
Ç
(
0
+¥
),
i
=
1
2
i
=
1
2
i
=
1
2
i
=
1
2
Uwaga 3.1
PoniewaŜ
funkcja uŜyteczności Koopmansa-Leontiefa
nie jest ró
Ŝ
niczkowalna,
więc
niemoŜliwe jest wyznaczenia jej tempa wzrostu, stopy wzrostu i elastyczności na podstawie
definicji 3.1, 3.2, 3.3.
Substytucja, neutralno
ść
i komplementarno
ść
towarów w koszyku towarów
konsumpcyjnych
2
x
=
(
x
,
x
)
Î
R
.
1
2
+
Substytucja towarów
dotyczy tylko tych koszyków towarów
,
których
u
Ŝ
yteczno
ść
jest
identyczna.
Tym samym dwa dowolne towary
nazywać będziemy
towarami substytucyjnymi,
jeŜeli -
dla zachowania ustalonego poziomu u
Ŝ
yteczno
ś
ci koszyka towarów -
wzrost
(spadek) ilości jednego towaru
wymaga
kompensacji odpowiednim spadkiem (wzrostem)
2
ilości drugiego towaru w koszyku towaru
x
=
(
x
,
x
)
Î
R
.
1
2
+
W przypadku gdy,
dla zachowania ustalonego poziomu uŜyteczności koszyka
towarów
,
wzrost (spadek) ilości jednego towaru
nie wymaga
kompensacji
x
=
(
x
1
x
,
)
2
Dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
21
Wykład 3
r. ak. 2011/2012
odpowiednim spadkiem (wzrostem) ilości drugiego towaru w koszyku towarów, to o dwóch
dowolnych towarach będziemy mówić, Ŝe
s
ą
neutralne
względem siebie.
Komplementarność towarów ujawnia się w sytuacji, gdy
zmiana u
Ŝ
yteczno
ś
ci
2
koszyka towarów
x
=
(
x
,
x
)
Î
R
wymaga
równoczesnego wzrostu (spadku)
ilości obu,
1
2
+
występujących w nim towarów
.
Uwaga 3.2
Klasyfikacja towarów konsumpcyjnych na
substytucyjne i neutralne
dokonywana jest wśród
towarów naleŜących do koszyków
o takim samym poziomie u
Ŝ
yteczno
ś
ci
(indyferentnych
względem siebie).
Uwaga 3.3
2
O tym czy dwa dowolne towary z koszyka towarów
s
ą
komplementarne
x
=
(
x
,
x
)
Î
R
1
2
+
decyduje to, czy
dla wzrostu (spadku) u
Ŝ
yteczno
ś
ci koszyka towarów jest konieczny
równoczesny wzrost (spadek) ilo
ś
ci obu towarów
. W przypadku gdy nie ma takiej
potrzeby, to o towarach o dwóch dowolnych towarach moŜemy mówić, Ŝe
nie s
ą
towarami
komplementarnymi.
Miary substytucji towarów
Dane s
ą
:
2
1
- róŜniczkowalna funkcja uŜyteczności
,
u
:
R
®
R
+
- zbiór koszyków towarów,
{
}
2
(4)
,
G
=
x
=
(
x
,
x
)
Î
R
u
(
x
,
x
)
=
u
=
const
.
>
0
1
2
+
1
2
o ustalonym poziomie uŜyteczności
u
=
const
.
>
0
.
Twierdzenie 3.1
{
}
2
1
1
JeŜeli
, to istnieje funkcja
postaci:
G
=
x
=
(
x
,
x
)
Î
R
u
(
x
,
x
)
=
u
=
const
.
>
0
g
:
R
+
®
R
1
2
+
1
2
+
, która opisuje zaleŜność między ilością towaru
2-
ego i
1
-ego w dowolnym
x
=
g
(
1
x
)
2
koszyku towarów o tej samej uŜyteczności
u
=
const
.
>
0
.
Dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
22
Wykład 3
r. ak. 2011/2012
1
1
Przykład 3.1 Podaj ilustracje geometryczne funkcji
dla:
g
:
R
+
®
R
+
liniowej
funkcja uŜyteczności:
u
(
x
,
x
)
=
a
x
+
a
x
=
u
Û
1
2
1
1
2
2
,
u
-
a
x
1
1
Û
x
=
g
(
x
)
=
2
1
a
2
pot
ę
gowej
funkcji uŜyteczności:
a
a
1
2
u
(
x
,
x
)
=
aax
x
=
u
Û
1
2
1
2
1
,
u
1
a
2
Û
x
=
g
(
x
)
=
2
1
a
a
1
a
2
x
1
logarytmicznej
funkcji uŜyteczności:
a
a
1
2
u
(
x
,
x
)
=
a
ln
x
+
a
ln
x
=
ln
x
x
=
u
Û
1
2
1
1
2
2
1
2
u
a
e
2
Û
x
=
g
(
x
)
=
.
2
1
a
1
a
2
x
1
Df. 3.4
Kra
ń
cow
ą
stop
ą
substytucji
towaru
1
-ego przez towar
2
-gi w koszyku towarów
2
o uŜyteczności
nazywamy wyraŜenie:
x
=
(
x
,
x
)
Î
R
u
=
const
.
>
0
1
2
+
D
x
dx
2
2
(5)
,
s
(
x
,
x
)
=
-
lim
@
-
12
1
2
D
x
dx
D
x
®
0
1
1
1
D
x
<
0
1
które określa o ile
w przybli
Ŝ
eniu
naleŜy zwiększyć ilość towaru 2-ego w koszyku towarów
2
,
gdy ilość towaru
1
-ego
zmniejszyła się o (umowną) jednostkę, tak aby
x
=
(
x
,
x
)
Î
R
1
2
+
uŜyteczność koszyka towarów nie uległa zmianie.
Uwaga 3.4
Znak minus
w definicji 3.4 wynika stąd, Ŝe
ilo
ść
towaru
1-
go zmniejsza si
ę
.
Uwaga 3.5
JeŜeli dana jest funkcja uŜyteczności, dla której ustalono poziom uŜyteczności:
u
(
x
,
x
)
=
u
,
1
2
to róŜniczka zupełna tej funkcji uŜyteczności ma postać:
¶
u
(
x
,
x
)
¶
u
(
x
,
x
)
1
2
1
2
(6)
.
du
=
dx
+
dx
1
2
¶
x
¶
x
1
2
Dr hab. Krzysztof Malaga, prof. nadzw. UEP
23
[ Pobierz całość w formacie PDF ]