Wykład 30, STUDIA, Matematyka I i II, Do kol3 semII
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 30
KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
W badaniach ekonomicznych (i nie tylko) poszukuje się często wzoru, który określałby zależność między
dwiema wielkościami. Przypuśćmy, że są wartościami pewnej wielkości
x,
dla których
równolegle zaobserwowanymi wartościami wielkości
y
są:
x
,
x
,
x
,
...,
x
1
2
3
n
y
,
y
,
y
,
...,
y
.
1
Parom
(,
odpowiadają punkty płaszczyzny
XOY
. W zależności od ułożenia się tych punktów
dobieramy funkcję
2
3
n
xy
i
)
i
y
=
f
(
x
)
, która jest najbardziej "dopasowana".
Metoda najmniejszych kwadratów polega na wyznaczeniu parametrów szukanej funkcji, aby wyrażenie
zwane
wielkością dopasowania
(będące funkcją
2
2
2
F
=
(
f
(
x
)
−
y
)
+
(
f
(
x
)
−
y
)
+
...
+
(
f
(
x
)
−
y
)
1
1
2
2
n
n
tych parametrów) było najmniejsze.
Twierdzenie.
Wielkość dopasowania jest najmniejsza, gdy poszukiwane parametry są punktami
stacjonarnymi wyrażenia
F
.
W większości zagadnień poszukiwaną zależnością między wielkościami jest
y
=
f
(
x
)
=
ax
+
b
.
Wyprowadzimy teraz wzory na współczynniki
a
i
b
funkcji liniowej najlepiej przybliżającej dane
eksperymentalne. Bez zmniejszania ogólności rozważań założymy, że dysponujemy trzema parami
pomiarów:
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
Wielkość dopasowania jest w tym przypadku równa:
2
2
2
F
(
a
,
b
)
=
(
ax
+
b
−
y
)
+
(
ax
+
b
−
y
)
+
(
ax
+
b
−
y
)
.
1
1
2
2
3
3
Ponieważ
/
F
a
(
a
,
b
)
=
2
x
(
ax
+
b
−
y
)
+
2
x
(
ax
+
b
−
y
)
+
2
x
(
ax
+
b
−
y
)
,
1
1
1
2
2
2
3
3
3
/
F
b
(
a
,
b
)
=
2
(
ax
+
b
−
y
)
+
2
(
ax
+
b
−
y
)
+
2
(
ax
+
b
−
y
)
,
1
1
2
2
3
3
to układ
⎧
/
F
(
a
,
b
)
=
0
⎨
a
/
⎩
F
(
a
,
b
)
=
0
.
b
po uporządkowaniu przyjmie postać
⎧
2
1
2
2
2
3
(
x
+
x
+
x
)
a
+
(
x
+
x
+
x
)
b
=
x
y
+
x
y
+
x
y
,
⎨
1
2
3
1
1
2
2
3
3
⎩
(
x
+
x
+
x
)
a
+
3
b
=
y
+
y
+
y
.
1
2
3
1
2
3
Stosując metodę wyznaczników mamy
2
2
2
xxxxxx
xx x
++
++
2
2
2
2
W
=
1
2
3
1
2
3
=
3(
xxx
+
+
)
−
(
xxx
+
+
)
,
1
2
3
1
2
3
++
3
1
2
3
2
Wykład 30. Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów
x
y
+
x
y
+
x
y
x
+
x
+
x
1
1
2
2
3
3
1
2
3
W
=
=
3
x
y
+
x
y
+
x
y
)
−
(
x
+
x
+
x
)(
y
+
y
+
y
)
,
1
1
1
2
2
3
3
1
2
3
1
2
3
y
+
y
+
y
3
1
2
3
2
1
2
2
2
3
x
+
x
+
x
x
y
+
x
y
+
x
y
1
1
2
2
3
3
2
1
2
2
2
3
W
=
=
(
x
+
x
+
x
)(
y
+
y
+
y
)
−
(
x
+
x
+
x
)(
x
y
+
x
y
+
x
y
)
2
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
x
+
x
+
x
y
+
y
+
y
1
2
3
1
2
3
Zatem
W
3(
x yxy xy
+
+
)
−
(
xx xyy y
+ +
)(
+
+
)
1
11
2 2
3 3
1
2
3
1
2
3
a
==
,
2
2
2
2
W
3(
xxx
++ −++
)
(
xxx
)
1
2
3
1
2
3
2
2
2
W
(
x
++
xxyyy xxxxyxyxy
)(
++ −++
)
(
)(
+ +
)
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
b
==
.
2
2
2
2
W
3(
xxx
++ −++
)
(
xxx
)
1
2
3
1
2
3
(, )
xy
i
Uwaga.
Jeżeli dane jest
n
punktów
, to współczynniki funkcji liniowej
yf
=
()
x xb
=
+
i
(prostej) najlepiej przybliżającej te dane wyrażają się wzorami:
n
n
n
n
n
n
n
∑
∑
∑
∑∑
∑
∑
2
n
⋅
x
y
−
x
⋅
y
x
⋅
y
−
x
⋅
x
y
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
=
1
i
=
1
i
=
1
i
=
1
i
=
1
i
=
1
i
=
1
a
=
,
b
=
.
n
n
n
n
∑∑
∑∑
2
2
2
2
n
⋅
x
−
(
x
)
n
⋅
x
−
(
x
)
i
i
i
i
i
=
1
i
=
1
i
=
1
i
=
1
lub krótko
∑
∑∑
∑∑ ∑∑
2
nx y
⋅
−
x
⋅
y
x
⋅
y
−
x
⋅
x y
ii
i
i
i
i
i
ii
a
=
,
b
=
.
∑∑
∑∑
2
2
2
2
nx
⋅
−
(
x
)
nx
⋅
−
(
x
)
i
i
i
i
Przykład 1.
Wyznaczyć równanie prostej najlepiej dopasowanej do danych punktów, których współrzędne
przedstawia tabelka. Naszkicować te dane, a następnie na wykres nanieść znalezioną prostą.
x
i
2
4
6
8
10
y
i
3
6
7
8
12
Rozwiązanie.
Obliczenia sum występujących we wzorach przeprowadzimy
w specjalnej tabelce:
Y
12
10
x
i
y
i
i
x
i
2
xy
i
8
2
3
4
6
6
4
6
16
24
6
7
36
42
4
8
8
64
64
2
10
12
100
120
x
∑
=
30
y
∑
=
36
∑
O
x
i
∑
=
220
x
ii
=
256
2
4
6
8
10
X
Korzystając ze wzorów na współczynniki prostej najlepiej dopasowanej do danych otrzymujemy
∑∑∑
∑∑
nx y
⋅
−
x
⋅
y
5 256
⋅
−⋅
30 36
1280
−
1080
200
ii
i
i
a
=
=
=
=
= ,
1
2
2
2
nx
⋅
−
(
x
)
5 220
⋅
−
30
1110
−
900
200
i
i
Wykład 30. Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów
3
.
Y
12
∑ ∑∑∑
∑∑
2
x
⋅
y
−
x
⋅
x y
i
i
i
i
i
b
=
=
2
2
nx
⋅
−
(
x
)
10
i
i
220 36
⋅ −⋅
30 256
7920
−
7680
240
8
=
=
=
=
1, 2
2
1110
−
900
200
5220 30
⋅
−
6
Równanie szukanej prostej ma postać:
y
=+
1, 2
.
4
Na wykresie obok przedstawiono dane oraz prostą najlepiej
dopasowaną do tych danych.
2
O
2
4
6
8
10
X
Przykład 2.
Wyznaczyć równanie prostej najlepiej dopasowanej do danych punktów, których współrzędne
przedstawia tabelka. Naszkicować te dane, a następnie na wykres nanieść znalezioną prostą.
x
i
1
2
3
4
y
i
2
5
8
11
Rozwiązanie.
Z rysunku ilustrującego dane zadania wynika, że punkty leżą na
pewnej prostej. Pokażemy, że w takim przypadku jako prostą
najlepiej dopasowaną otrzymamy tę prostą.
Y
12
10
x
i
y
i
x
i
2
i
xy
i
8
1
2
1
2
6
2
5
4
10
3
8
9
24
4
4
11
16
44
2
∑
∑
∑
∑
x
i
2
x
i
=
10
y
i
=
26
x
ii
=
80
=
30
O
1
3
4
5
X
2
Korzystając ze wzorów na współczynniki prostej najlepiej dopasowanej do danych otrzymujemy
∑ ∑∑
∑∑
nx y
⋅
−
x
⋅
y
4 80
⋅ −⋅
10 26
320
−
260
60
ii
i
i
a
=
=
=
=
=
3
,
2
2
2
120
−
100
20
nx
⋅
−
(
x
)
4 30
⋅ −
10
i
i
Y
12
∑ ∑∑∑
∑∑
2
x
⋅
y
−
x
⋅
x y
i
i
i
i
i
b
=
=
2
2
10
nx
⋅
−
(
x
)
i
i
30 26
⋅
−⋅
10 80
780
−
800
−
20
8
=
=
=
= −
1
2
120
−
100
20
430 10
⋅ −
6
Równanie szukanej prostej ma postać:
y
=−
3
1
.
4
2
Na wykresie obok przedstawiono dane oraz prostą najlepiej
dopasowaną do tych danych.
O
1
3
5
X
2
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]