Wyklad 19, Studia, Wytrzymałość materiałów II, wm2-cz5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
19. Metoda elementów skończonych (wersja 1 – maj 03)
Metoda elementów skończonych
Wiadomości wstępne
MES – jest numeryczną procedurą do rozwiązywania równań
różniczkowych. Narodziny metody to lata pięćdziesiąte ubiegłego wieku
(konstrukcje lotnicze). Pierwsza prace publikowana (Turner, Clough,
Martin, Topp) ukazały się ok. 1956 r. W rozwoju i rozpowszechnieniu
metody niemały wkład mają Polacy (Szmelter – 1959, Zienkiewicz – 1965).
Obecnie metoda MES stosowana jest powszechnie w technice, fizyce i ciągle
jeszcze obserwujemy jej rozwój. Jest bardzo duża liczba jej zastosowań w
mechanice konstrukcji. Wyróżnić można trzy podejścia (odmiany) MES
1.
metoda przemieszczeń,
2.
metoda sił,
3.
metoda mieszana – hybrydowa.
Podręczniki............
Rozwój metody jest ściśle związany z rozwojem komputerów.
Porównanie MES z innymi metodami numerycznymi np. metodą różnic
skończonych, należy stwierdzić istnienie tu podobieństwa. Jednak MES ma
znaczną przewagę jest bardziej elastyczna i daje możliwość dużej
automatyzacji obliczeń.
Koncepcja metody
W MES tworzy się model dyskretny czyli dzieli się ośrodek na skończoną
liczbę elementów. Elementy te są połączone tylko w węzłach znajdujących
się na obwodach elementów.
Rys. 19.2
Rys. 19.1
Wytrzymałość materiałów II
Sz. Lutomirski
1/6
19. Metoda elementów skończonych (wersja 1 – maj 03)
Uogólnione przemieszczenia węzłów stanowią podstawowy układ
niewiadomych rys. 19.1 i 19.2. Wzajemne oddziaływanie elementów,
różnorodne obciążenia zewnętrzne zastępuje się układem równoważnych sił
uogólnionych działających tylko w węzłach. Stan uogólnionych
przemieszczeń wewnątrz węzłów opisany jest przy pomocy funkcji
interpolującej tzw. funkcji kształtu zwykle w postaci wielomianu. Funkcje
przemieszczeń umożliwiają jednoznacznie wyznaczyć stan odkształcenia i
przemieszczenia w całym elemencie a także i na jego brzegach.
Etapy analizy konstrukcji
Analiza konstrukcji MES składa się z następujących etapów:
Rodzaje elementów
Najprostszy element jednowymiarowy – pręt zaś konstrukcją złożoną
z tych elementów jest kratownica z węzłami przegubowymi (Rys. 19.3). Na
dole rys. 19.3 podano element wyjęty z układu ramowego. Komentarz...... .
Wytrzymałość materiałów II
Sz. Lutomirski
2/6
19. Metoda elementów skończonych (wersja 1 – maj 03)
Jest on szczególnym przypadkiem pręta zginanego, skręcanego i poddanego
działaniu (trzech) sił w płaszczyznach głównych.
Rys. 19.3
Tablica 19.1
Wytrzymałość materiałów II
Sz. Lutomirski
3/6
19. Metoda elementów skończonych (wersja 1 – maj 03)
Konstrukcje powierzchniowe (tarcze, płyty, powłoki) mogą być także
podzielone (zdyskretyzowane) na elementu dwuwymiarowe. Można również
dyskretyzować układy przestrzenne (Tablica. 19.1). W elementach
dwuwymiarowych i trójwymiarowych można przyjmować węzły nie tylko w
wierzchołkach, ale także w punktach pośrednich na krawędziach rys. 19.4.
Rys. 19.4
Brzegi elementów mogą być także krzywoliniowe rys. 19.5
Rys. 19.5
Zasady dyskretyzacji
Analizowaną konstrukcję dyskretyzujemy na skończoną liczbę
elementów kierując się pewnymi zasadami jak :
-
dokładność rozwiązania (poprawa na ogół wraz ze wzrostem elm.),
-
w miejscach koncentracji i spodziewanych nieciągłości należy
zagęścić podział na elementy,
-
należy unikać elementów o kształtach wydłużonych,
-
cechy fizyczne powinny być tego samego rzędu.
Należy przy tym pamiętać, że dyskretyzacji ulegają warunki brzegowe
zarówno geometryczne – podparcia jak i statyczne – obciążenia (Rys. 19.6)
W procesie dyskretyzacji zostaną one zastąpione na statyczne ekwiwalentne
przemieszczenia i obciążenia węzłów. Dyskretyzacji ulegają także cechy
Wytrzymałość materiałów II
Sz. Lutomirski
4/6
19. Metoda elementów skończonych (wersja 1 – maj 03)
fizyczne . Zwykle przyjmuje się, że są stałe w całym elemencie (ale mogą
być również i różne)
Rys. 19.6
Zbieżność rozwiązania
Dokładność rozwiązania uzależniona jest także od doboru funkcji
opisującej przemieszczenia wewnątrz elementu tzw. funkcji kształtu.
Zakładając funkcję kształtu należy dążyć aby spełnić warunki:
1.
niewystępowanie sił wewnętrznych w elemencie przy ruchu całej
konstrukcji(ciało sztywne),
2.
funkcje kształtu powinny być ciągłe wewnątrz elementu i
zapewniać zgodności przemieszczeń na granicach podziału,
3.
przy zagęszczaniu podziału naprężenia powinny dążyć do
wartości stałej
Elementy wyposażone w funkcję kształtu spełniającą warunek 2 nazywamy
elementami dostosowanymi. Spełniające warunek 1 i 3 – niedostosowane.
Zbieżność rozwiązania przedstawić można na rys. 19.7.
Rys. 19.7
Wniosek: w elem. dostosowanych rozwiązanie ścisłe jest granicą górną zaś
w elem. niedostosowanych sposób zbieżności od „góry” lub od „dołu”.
Wytrzymałość materiałów II
Sz. Lutomirski
5/6
[ Pobierz całość w formacie PDF ]