Wykład 19 lista, STUDIA, Matematyka I i II, FiR Mat II kol 1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 19
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU PIERWSZEGO – lista zadań
1. Sprawdzić, czy funkcja
y
=
y
(
x
)
jest całką szczególną podanego równania różniczkowego:
− −
=+
x
x
/
+=
−
x
y
=
2
xe
24
x
,
y
/
−
4
y
=
2
e
4
x
a)
ye
5
3
e
,
y ye
2
3
,
b)
,
//
x x
ye e
//
/
c)
y
=
2
cos
x
+
sin
x
,
y
+
y
=
0
, d)
= +
,
y
−
3
y
+
2
y
= .
0
2. Wykazać, że zbiór funkcji
y
=
y
(
x
,
C
)
stanowi całkę ogólną równania różniczkowego:
2
x
/
−
x
/
−
x
/
−
x
a)
y
=
Ce
,
y
=
y
,
b)
, c)
y
=
x
−
1
+
(
x
+
C
)
e
,
y
+
y
=
xe
.
y
=
1
+
Ce
,
y
+
2
xy
=
2
x
/
2
3. Wykazać, że w przypadku równania
y
=
3
y
:
1
3
a)
zbiór funkcji
y
=
(
x
−
C
)
stanowi całkę ogólną,
27
b)
funkcja
y
Naszkicować wykresy kilku funkcji spełniających podane równanie.
=
0
stanowi rozwiązanie dodatkowe.
/
4. Podać rozwiązanie ogólne równania typu
yf
=
()
x
:
6
x
/
/
/
e
−
x
/
a)
y
=+5
4
, b)
y
=
cos
x
, c)
y
=
2
+ , d)
1
y
/
=
, e)
y
=
ln
x
.
2
1
+
x
5. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania, a następnie naszkicować kilka krzywych całkowych tego równania:
a)
/
/
x
y
= .
y
=+
22
,
b)
6. Znaleźć rozwiązania ogólne równań o zmiennych rozdzielonych:
/
yy
2
/
−
y
/
2
/
a)
=
, b)
y
=
, c)
y
= + , d)
1
y
/
y
=
y
, e)
y
= − ,
3
y
yy
2/
=
2
x
e y
y
/
=
4
x
yy x
/
=
2
cos
xy
/
= +
, j)
1
y
2
xy
2/
=
.
2
f)
, g)
, h)
, i)
7. Rozwiązać następujące zagadnienie Cauchy'ego:
2
x
/
/
2
/
a)
y
=
4,
x
y
(0) 4
=
,
b)
yyy
=
,
)1
=
, c)
y
=
,
y
( )
=− ,
2
2
y
d)
yxyy
/
=
2
2
,
) 3
= −
,
e)
yyey
/
=
2
x
,
)1
=
.
8. Rozwiązać równania różniczkowe metodą przewidywań:
/
/
2
/
56
x
2
a)
y
−=+
33
y
x
5
, b)
yyx
+= + −, c)
41
x
y
−= ,
y
e
/
/
−
x
/
23
x
xe
−
d)
y
+=
4 5 i
y
x
−
x
5
,
e)
yy x
−= +
(4
2)
, f)
y
+= .
y
9. Rozwiązać równania różniczkowe skorygowaną metodą przewidywań:
/
36
x
3
/
25
x
e
−
2
/
3
x
a)
y
−= , b)
y
e
y
+= , c)
y
y
−= .
3
y
xe
10. Rozwiązać następujące zagadnienie Cauchy'ego:
y
/
+=
23,
y
e
−
x
y
( )
=5
y
/
−=−
22 ,
y
x
y
( )
=
3
a)
,
b)
.
Zadania do wykładu 19:
Równania różniczkowe rzędu pierwszego
.
2
Odpowiedzi
1. a) tak, b) nie, c) tak, d) nie.
4. a)
2
yx xC
=++
25
2
y
= −++
, d)
2
e
−
x
x
C
, b)
y
=
sin
x
+
C
, )
y
=
3ln(1
++, e)
x
)
C
yxxxC
=
ln
− +
.
y
=++
C
. Jest to rodzina parabol o wierzchołkach leżących na prostej
x
2
2
x
5. a)
x
=−
1
, otrzymanych
2
y
= .
przez odpowiednie przesunięcie paraboli
x
x
b)
y
=+. Rodzina krzywych wykładniczych otrzymanych z wykresu funkcji
eC
y
= w wyniku
przesunięć wzdłuż osi
OY
.
1
1
(
4
2
3
x
yC
−
6. a)
y
=
, b)
y
=−
ln(
C
−
x
)
, c)
y
=
tg(
x
−
C
)
, d)
y
=−) , e)
x
C
=
,
Cx
−
−
1
x
3
2
2
f)
y
=
3
xC
+ , g)
y
=
ln(2
xC
+
)
, h)
y
=
, i)
y
=
tg(ln
x
+
C
)
, j)
y
=
.
sin
x
+
C
1
−
Cx
1
−
3
−
1
2
y
= 4
3
2
31
7. a)
, b)
y
=
, c)
y
=
x
−
, d)
y
=
, e)
y
=
.
3
x
1
−
x
x
e
−
2
8. a)
x
yCe
3
−
x
2
5
x
2
x
=
− −
x
2
, b)
y
=
Ce
+ +
x
2
x
− , c)
3
y
=
Ce
+
2
e
,
32
1
4
x
e
−
x
−
2
x
−
x
d)
y
=
Ce
−
x
+
cos 5
x
−
sin 5
x
, e)
y
=−+ , f)
Ce
(2
x
2)
y
=
Ce
+
(3
x
−
3)
e
.
41
41
1
2
y
=
Ce
3
x
+
6
xe
3
x
y
=
Ce
−
2
x
+
5
xe
−
2
x
yCe
=
3
x
+
xe
2
3
x
9. a)
, b)
, c)
.
−
2
x
−
x
2
x
10. a)
y
=
2
e
+
3
e
, b)
y
=−.
3
ex
[ Pobierz całość w formacie PDF ]