Wyklad 16, Studia, Wytrzymałość materiałów II, wm2-cz3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
16. Zagadnienie płaskie (wersja 1 – kwiecień 03)
Powtórzenie z wykładu 4
Płaski ogólny (niejednorodny) stan naprężenia
Równania równowagi i ruchu dla PSN
Rys. 16.1
Po ułożeniu równań równowagi: ΣX = 0, ΣY = 0, ich redukcji i podzieleniu
dx * dy przyjmują one postać
∂
∂
∂
u
2
+
+
X
=
0
(
=
ρ
)
xy
(16.1)
x
∂
x
∂
y
∂
t
2
∂
∂
∂
v
2
+
+
Y
=
0
(
=
ρ
)
y
xy
(16.2)
∂
y
∂
x
∂
t
2
Wytrzymałość materiałów II
Sz. Lutomirski
1/12
16. Zagadnienie płaskie (wersja 1 – kwiecień 03)
Po pominięciu sił masowych w równaniach (16.1) i (16.2) znikają wyrazy
zawierające X, Y, i ρ. Jeżeli jedyną siłą masową jest ciężar własny ciała (X
= 0, Y = - p), to wówczas równania powyższe mają postać:
∂
∂
+
=
0
xy
x
(16.3)
∂
x
∂
y
∂
∂
+
−
p
=
0
y
xy
(16.4)
∂
y
∂
x
Warunki brzegowe
: ΣX = 0, ΣY = 0 – dwa dodatkowe równania (por. rys.
16.1d). Równania te po skróceniu i podzieleniu przez dA i uwzględnieniu
τ
xy
= τ
yx
przyjmują postać
X
=
σ
cos
ϕ
+
τ
sin
ϕ
x
xy
(16.5)
Y
=
σ
sin
ϕ
+
τ
cos
ϕ
y
xy
Równania równowagi wewnętrznej (16.3) i (16.4) wraz z warunkami
brzegowymi (16.5) tworzą komplet warunków statycznych płaskiego stanu
naprężenia.
Koniec powtórzenia z wykładu 4
Powtórzenie z wykładu 6
Dla małych przemieszczeń odkształcenia liniowe będą wynosiły
∂
u
ε
=
,
(16.6)
x
∂
x
∂
v
ε
=
.
y
(16.7)
∂
y
zaś deformacja kąta prostego
∂
v
∂
u
(16.8)
γ
=
+
.
xy
∂
x
∂
y
Otrzymane związki geometryczne (16.6) do (16.8) nazywane są równaniami
CAUCHY’EGO.
Wytrzymałość materiałów II
Sz. Lutomirski
2/12
16. Zagadnienie płaskie (wersja 1 – kwiecień 03)
Związki fizyczne między napręż. i odkształceniami
W przestrzennym stanie naprężenia uogólnione prawo Hooke’a
τ
1
xy
ε
=
[
σ
−
ν
(
σ
+
σ
)],
γ
=
,
x
x
y
z
xy
E
G
1
τ
ε
=
[
σ
−
ν
(
σ
+
σ
)],
γ
=
xz
,
(16.9)
y
y
x
z
xz
E
G
τ
1
yz
ε
=
[
σ
−
ν
(
σ
+
σ
)],
γ
=
.
z
z
x
y
xy
E
G
Rozwiązując równania (16.9) względem naprężeń będziemy mieli
E
ν
σ
=
[
ε
+
(
ε
+
ε
+
ε
)],
τ
=
γ
G
,
x
x
x
y
z
xy
xy
1
+
ν
1
−
2
ν
E
ν
σ
=
[
ε
+
(
ε
+
ε
+
ε
)],
τ
=
γ
G
,
(16.10)
y
y
x
y
z
xz
xz
1
+
ν
1
−
2
ν
E
ν
σ
=
[
ε
+
(
ε
+
ε
+
ε
)],
τ
=
γ
G
z
z
x
y
z
yz
yz
1
+
ν
1
−
2
ν
PSN (σ
z
= 0, τ
xz
= 0, τ
yz
= 0),
τ
1
1
xy
ε
=
(
σ
−
νσ
),
ε
=
(
σ
−
νσ
),
γ
=
,
(16.11)
x
x
y
y
y
x
xy
E
E
G
lub
E
σ
=
(
ε
+
νε
),
x
x
y
2
1
−
ν
E
σ
=
(
ε
+
νε
),
τ
=
γ
G
,
(16.12)
y
y
x
xy
xy
2
1
−
ν
PSO (ε
z
= 0, σ
z
≠ 0)
Z ostatniego równania (16.9) otrzymujemy
σ
=
ν
(
σ
+
σ
).
z
x
y
Podstawiają do dwóch pierwszych równań (16.9) otrzymujemy
1
+
ν
1
+
ν
ε
=
[(
1
−
ν
)
σ
−
νσ
],
ε
=
[(
1
−
ν
)
σ
−
νσ
].
x
x
y
y
y
x
E
E
(16.13)
Koniec
p
owtórzeni
a
z wykładu 6
Wytrzymałość materiałów II
Sz. Lutomirski
3/12
16. Równanie nierozdzielności w odkształceniach (wersja 1 – kwiecień 03)
Równanie nierozdzielności w odkształceniach
W równaniach (16.6), (16.7) i (16.8) występują trzy składowe
odkształcenia
ε
x
,
ε
y
i
γ
xy
i dwie składowe przemieszczenia u i v.
Ponieważ trzy pierwsze wielkości są funkcjami dwu niezależnych od siebie
składowych u i v , nie mogą być więc całkowicie dowolne. Związek, który
między nimi zachodzi, otrzymujemy w następujący sposób:
Różniczkujemy dwukrotnie odkształcenia jednostkowe
2
3
∂
ε
∂
u
x
=
,
2
2
∂
y
∂
x
∂
y
2
∂
ε
3
∂
v
y
=
2
2
∂
x
∂
y
∂
x
otrzymane wyrażenia dodajemy do siebie stronami,
2
2
∂
ε
2
∂
ε
∂
∂
u
∂
v
y
x
+
=
+
2
2
∂
x
∂
y
∂
y
∂
x
∂
y
∂
x
Zauważmy, że czynnik w nawiasie, zgodnie ze wzorem (16.8) jest
wyrażeniem na
γ
xy
2
2
2
∂
ε
∂
γ
∂
ε
y
xy
x
+
=
(16.14)
2
2
∂
x
∂
y
∂
y
∂
x
w ten sposób otrzymaliśmy tzw. równanie nierozdzielności.
Spełnienie jego gwarantuje zachowanie ciągłości układu
odkształcalnego, oznacza to, że wszystkie myślowo wyodrębnione
z ciała elementy prostopadłościany idealnie przystają do swoich
„sąsiadów”. Dla zagadnienie płaskiego istnieje jedno równie
nierozdzielności . Równanie to wraz z równaniami statyki (16.3)
i (16.4) tworzy układ trzech równań z sześcioma niewiadomymi
stanu naprężenia i odkształcenia. Nie zostały wykorzystane
jeszcze związki fizyczne dla PSN związki (16.11) lub (16.12) zaś
dla PSO (16.13).
Wytrzymałość materiałów II
Sz. Lutomirski
4/12
16. Równanie nierozdzielności w naprężeniach.........................(wersja 1 – kwiecień 03)
Równanie nierozdzielności w naprężeniach
Ponieważ interesują nas naprężenia będziemy starać się zamienić w
równaniu nierozdzielności (16.14) odkształcenia poprzez wykorzystanie
związków fizycznych
.
W przypadku płaskiego stanu naprężenia podstawiamy wyrażenia (16.11)
do równania nierozdzielności w odkształceniach (16.14)
τ
2
2
2
∂
1
∂
1
∂
xy
(
σ
−
νσ
)
+
(
σ
−
νσ
)
=
x
y
y
x
2
2
E
E
∂
x
∂
y
G
∂
y
∂
x
gdzie
(
)
2
1
+
ν
G
=
E
po skróceniu
2
2
2
∂
τ
∂
∂
(
)
(
)
(
xy
)
σ
−
νσ
+
σ
−
νσ
=
2
1
+
ν
(16.15)
x
y
y
x
2
2
∂
x
∂
y
∂
y
∂
x
z tego równia wyeliminujemy
τ
xy
.
W tym celu różniczkujemy równanie równowagi (16.1) względem x a
równanie (16.2) względem y, pomijając siły bezwładności otrzymujemy:
2
2
∂
τ
∂
σ
∂
X
xy
x
+
+
=
0
2
∂
x
∂
y
∂
x
∂
x
2
∂
σ
∂
∂
Y
y
xy
+
+
=
0
2
∂
x
∂
y
∂
y
∂
y
następnie dodajemy równania stronami
2
2
2
∂
τ
∂
σ
∂
σ
∂
X
∂
Y
xy
y
x
2
=
−
+
+
+
(
16.16)
2
2
∂
x
∂
y
∂
x
∂
y
∂
x
∂
y
otrzymane wyrażenie wstawiamy do równia (16.15)
2
2
2
2
∂
σ
∂
∂
∂
σ
∂
X
∂
Y
(
)
(
)
(
)
y
x
σ
−
νσ
+
σ
−
νσ
=
−
1
+
ν
+
+
+
x
y
y
x
2
2
2
2
∂
x
∂
y
∂
y
∂
x
∂
x
∂
y
po uporządkowaniu
2
2
2
2
∂
σ
∂
σ
∂
σ
∂
σ
∂
X
∂
Y
y
y
(
)
x
x
+
+
+
=
−
1
+
ν
+
2
2
2
2
∂
x
∂
y
∂
x
∂
y
∂
x
∂
y
Wytrzymałość materiałów II
Sz. Lutomirski
5/12
[ Pobierz całość w formacie PDF ]