Wyklad1 RRZiC, Matematyka, Dokumenty, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Równaniaró»niczkowezwyczajnelinioweI-gorz¦du
1–1
1 Równaniaró»niczkowezwyczajneliniowe
pierwszegorz¦du
Równaniem ró»niczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rz¦du
nazywamy równanie postaci
(RL1)
x
0
+
a
(
t
)
x
=
h
(
t
)
,
R.
Równanie (RL1) nazywamy
liniowym jednorodnym
, gdy
h
0. W
przeciwnym przypadku równanie nazywamy
liniowym niejednorodnym
.
R,
h
:
I
!
1.1 Zagadnienie pocz¡tkowe dlarównania
ró»niczkowego liniowego pierwszego rz¦du
Twierdzenie 1.1
(Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczno±ci rozwi¡zania
zagadnienia pocz¡tkowego dla równania ró»niczkowego liniowego pierwszego
rz¦du)
.
Je»eli funkcje a i h s¡ ci¡głe, to dla ka»dego punktu
(
t
0
,x
0
)
2
I
×
R
istnieje dokładnie jedno rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego
:
x
0
+
a
(
t
)
x
=
h
(
t
)
(RL1-ZP)
x
(
t
0
)=
x
0
,
okre±lone na całym przedziale I.
Dowód.
Załó»my, »e funkcja
'
:
I
!
R jest rozwi¡zaniem zagadnienia
pocz¡tkowego (RL1-ZP). Zatem
'
0
(
t
)+
a
(
t
)
'
(
t
)=
h
(
t
)
8
t
2
I.
Mno»ymy obie strony powy»szej równo±ci przez
e
A
(
t
)
, gdzie
A
(
t
):=
R
a
(
s
)
ds
, i całkujemy, otrzymuj¡c równowa»n¡ posta¢
t
0
Z
t
Z
t
(
e
A
(
s
)
'
0
(
s
)+
a
(
s
)
e
A
(
s
)
'
(
s
))
ds
=
e
A
(
s
)
h
(
s
)
ds
8
t
2
I,
t
0
t
0
czyli
Z
t
e
A
(
t
)
'
(
t
)
−
e
A
(
t
0
)
'
(
t
0
)=
e
A
(
s
)
h
(
s
)
ds.
t
0
gdzie
a
:
I
!
8
<
t
1–2
SkompilowałJanuszMierczy«ski
Poniewa»
e
A
(
t
0
)
=1, po prostych przekształceniach otrzymujemy
Z
t
(1.1)
'
(
t
)=
e
−
A
(
t
)
x
0
+
e
A
(
s
)
−
A
(
t
)
h
(
s
)
ds
t
0
dla wszystkich
t
2
I
.
We wszystkich dokonywanych przekształceniach mamy w istocie
równowa»no±ci, zatem funkcja okre±lona wzorem (1.1) jest rozwi¡zaniem
zagadnienia pocz¡tkowego (RL1-ZP) na
I
.
Z dowodu twierdzenia wynika, »e rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego
(RL1-ZP) mo»na zapisa¢ w postaci
−
t
!
Z
t
−
t
!
'
(
t
)=
x
0
exp
a
(
s
)
ds
+
exp
a
(
)
d
h
(
s
)
ds.
t
0
t
0
s
1.2 Strukturarozwi¡za« równania ró»niczkowego
liniowego pierwszego rz¦du
Rozwa»my równanie ró»niczkowe liniowe jednorodne pierwszego rz¦du
(RLJ1)
x
0
+
a
(
t
)
x
=0
,
Rozwi¡zanie równania (RLJ1) równe stale zero nazywamy
rozwi¡zaniem
trywialnym
.
R
jest funkcj¡ ci¡gł¡. Wówczas dla
ka»dego rozwi¡zania '
(
·
)
zachodzi nast¦puj¡ca alternatywa: albo '
0
na
I, albo '
(
t
)
6
=0
dla ka»dego t
2
I.
Dowód.
Wystarczy wykaza¢, »e je±li istnieje
t
0
2
I
takie, »e
'
(
t
0
)=0, to
'
0. Istotnie, funkcja
'
(
·
) jest rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego
8
<
:
x
0
+
a
(
t
)
x
=0
x
(
t
0
)=0
.
Rzecz jasna, funkcja stale równa 0 te» spełnia powy»sze zagadnienie
pocz¡tkowe. Zatem, na podstawie jednoznaczno±ci rozwi¡zania zagadnienia
pocz¡tkowego (Twierdzenie 1.1), funkcje te s¡ identyczne.
R
jest
funkcj¡ ci¡gł¡, tworzy przestrze« liniow¡
(
nad ciałem liczb rzeczywistych
)
wymiaru
1
.
Z
Z
Lemat 1.2.
Załó»my, »e a
:
I
!
Twierdzenie 1.3.
Zbiór wszystkich rozwi¡za« równania ró»niczkowego
liniowego jednorodnego pierwszego rz¦du
(RLJ1)
, gdzie a
:
I
!
Równaniaró»niczkowezwyczajnelinioweI-gorz¦du
1–3
Dowód.
Oznaczmy zbiór rozwi¡za« równania (RLJ1) przez S. To, »e S jest
przestrzeni¡ liniow¡, jest (niemal) oczywiste. Ustalmy
t
0
2
I
, i oznaczmy
przez
R
odwzorowanie liniowe przyporz¡dkowuj¡ce rozwi¡zaniu
'
(
·
)
równania (RLJ1) jego warto±¢ w
t
0
. Z Twierdzenia 1.1 wynika, »e
R
jest
ró»nowarto±ciowe i „na”, zatem jest izomorfizmem przestrzeni liniowych S i
R.
Wniosek
(Rozwi¡zanie ogólne równania ró»niczkowego liniowego
jednorodnego pierwszego rz¦du)
.
Zbiór wszystkich rozwi¡za«
równania
(RLJ1)
mo»na zapisa¢ w postaci
(1.2)
'
(
·
;
C
)=
C'
0
(
·
)
,
R
jest dowoln¡ stał¡, za± '
0
jest ustalonym nietrywialnym
rozwi¡zaniem równania
(RLJ1)
.
Wzór (1.2) nazywamy
rozwi¡zaniem ogólnym równania liniowego
jednorodnego pierwszego rz¦du
(RLJ1).
Rozwa»my równanie ró»niczkowe liniowe niejednorodne pierwszego rz¦du
(RLN1)
x
0
+
a
(
t
)
x
=
h
(
t
)
.
Równanie ró»niczkowe liniowe jednorodne pierwszego rz¦du
x
0
+
a
(
t
)
x
=0
nazywamy równaniem
stowarzyszonym
z (RLN1).
Poni»szy wynik jest oczywisty.
Twierdzenie 1.4
(Rozwi¡zanie ogólne równania ró»niczkowego liniowego
niejednorodnego pierwszego rz¦du)
.
Niech
(
·
)
b¦dzie ustalonym
rozwi¡zaniem równania ró»niczkowego liniowego niejednorodnego pierwszego
rz¦du
(RLN1)
, gdzie a
:
I
!
R
i h
:
I
!
(1.3)
'
(
·
;
C
)=
C'
0
(
·
)+
(
·
)
gdzie C
2
R
.
Wzór (1.3) nazywamy
rozwi¡zaniem ogólnym równania ró»niczkowego
liniowego niejednorodnego pierwszego rz¦du
. Stosuj¡c terminologi¦ z algebry
gdzie C
2
R
s¡ funkcjami ci¡głymi, i niech
'
0
(
·
)
b¦dzie ustalonym nietrywialnym rozwi¡zaniem równania
stowarzyszonego. Wówczas ka»de rozwi¡zanie równania ró»niczkowego
liniowego niejednorodnego
(RLN1)
mo»na jednoznacznie zapisa¢ w postaci
1–4
SkompilowałJanuszMierczy«ski
liniowej, mo»na powiedzie¢, »e
zbiór rozwi¡za« równania liniowego
niejednorodnego pierwszego rz¦du jest przestrzeni¡ afiniczn¡
(
nad ciałem
liczb rzeczywistych
)
wymiaru
1.
W praktyce, rozwi¡zanie ogólne równania liniowego niejednorodnego
pierwszego rz¦du
(RLN1)
x
0
+
a
(
t
)
x
=
h
(
t
)
otrzymuje si¦, mno»¡c obie jego strony przez funkcj¦
e
A
(
t
)
, gdzie
A
(
·
) jest
pewn¡ (ustalon¡) funkcj¡ pierwotn¡ funkcji
a
(
·
). Otrzymujemy
e
A
(
t
)
x
0
(
t
)+
a
(
t
)
e
A
(
t
)
x
(
t
)=
e
A
(
t
)
h
(
t
)
,
czyli
d
dt
(
e
A
(
t
)
x
(
t
))=
e
A
(
t
)
h
(
t
)
,
co po nało»eniu na obie strony całki nieoznaczonej i oczywistych
przekształceniach daje
Z
x
(
t
)=
e
−
A
(
t
)
e
A
(
t
)
h
(
t
)
dt.
Funkcj¦
e
A
(
·
)
nazywamy
czynnikiem całkuj¡cym
równania (RLN1).
x
0
+
tx
=
te
t
2
/
2
.
Mno»¡c obie strony równania przez czynnik całkuj¡cy
e
t
2
/
2
, otrzymujemy
(
e
t
2
/
2
x
)
0
=
te
t
2
,
co daje
e
t
2
/
2
x
=
1
2
e
t
2
+
C,
czyli
x
=
1
2
e
t
2
/
2
+
Ce
−
t
2
/
2
.
1.3 Równania ró»niczkowe Bernoulliego
Równaniem ró»niczkowym Bernoulliego
1
nazywamy równanie postaci
(RB)
x
0
+
a
(
t
)
x
=
h
(
t
)
x
p
, p
6
=0
, p
6
=1
, h
6
0
.
1
Jakob Bernoulli (1654 – 1705), matematyk i fizyk szwajcarski
Przykład.
Znale¹¢ rozwi¡zanie ogólne równania ró»niczkowego liniowego
niejednorodnego
Równaniaró»niczkowezwyczajnelinioweI-gorz¦du
1–5
Fakt 1.5.
Przy pomocy podstawienia u
:=
x
1
−
p
równanie ró»niczkowe
Bernoulliego
(RB)
sprowadza si¦ do równania ró»niczkowego liniowego
niejednorodnego.
Uzasadnienie.
Ró»niczkuj¡c
u
po
t
, otrzymujemy
u
0
=(1
−
p
)
x
−
p
x
0
.
Podstawienie powy»szego wyra»enia do (RB) daje równanie liniowe
niejednorodne
u
0
+(1
−
p
)
a
(
t
)
u
=(1
−
p
)
h
(
t
)
.
Zauwa»my jednak, »e niekiedy przy pomocy powy»szego podstawienia nie
daje si¦ otrzyma¢ wszystkich rozwi¡za« danego równania Bernoulliego. Aby
si¦ o tym przekona¢, rozwa»my nast¦puj¡ce równanie ró»niczkowe
Bernoulliego:
(1.4)
x
0
=2
p
x.
Łatwo zauwa»y¢, »e funkcja
:
0
dla t
2
(
−1
,
0]
'
1
(
t
)=
t
2
dla t
2
[0
,
1
)
jest rozwi¡zaniem równania
(1.4)
.
Po dokonaniu podstawienia u
=
p
x otrzymujemy równanie liniowe
niejednorodne
(1.5)
u
0
=1
,
którego ka»de rozwi¡zanie ma posta¢ t
+
C, t
2
(
−1
,
1
)
. Rozwi¡zaniu '
1
równania
(1.4)
odpowiada rozwi¡zanie
(
t
)=
t równania
(1.5)
,
lecz tylko
na przedziale [0
,
1
)
.
Z drugiej strony, rozwi¡zanie '
2
0
równania
(1.4)
nie odpowiada
»adnemu
rozwi¡zaniu równania
(1.5)
.
8
<
[ Pobierz całość w formacie PDF ]