wyklad-5(1), Fizyka Medyczna, STUDIA, Rok I, Semestr I, Podst Statystycznej Analizy Danych, prof. Burian - wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rozkład normalny
Ró
Ň
ne pomiary – ró
Ň
ne rozkłady graniczne (symetryczne, niesymetryczne)
Dla olbrzymiej grupy pomiarów (i nie tylko) rozkładem granicznym jest symetryczna
krzywa dzwonowa z centrum odpowiadaj
Ģ
cym prawdziwej warto
Ļ
ci
x
p
zmiennej
x
.
f
(
x
)
Uwaga!!!
Je
Ň
eli istotne s
Ģ
bł
ħ
dy systematyczne, to
poło
Ň
enie maksimum rozkładu granicznego
nie b
ħ
dzie odpowiadało warto
Ļ
ci prawdziwej.
x
p
x
W dalszych rozwa
Ň
aniach b
ħ
dziemy zakłada
ę
,
Ň
e bł
ħ
dy systematyczne zostały ograniczone
do zaniedbywalnego poziomu.
Pojawia si
ħ
pytanie co to jest warto
Ļę
prawdziwa?
Odpowied
Ņ
jest trudna, bowiem
Ň
aden pomiar nie pozwala okre
Ļ
li
ę
prawdziwej
warto
Ļ
ci jakiejkolwiek zmiennej ci
Ģ
głej (długo
Ļę
, czas, itp.) i nie jest pewne czy taka
warto
Ļę
istnieje.
Wygodnie jest zało
Ň
y
ę
,
Ň
e ka
Ň
da wielko
Ļę
fizyczna posiada warto
Ļę
prawdziw
Ģ
–
warto
Ļę
, do której zbli
Ň
amy si
ħ
wykonuj
Ģ
c coraz wi
ħ
cej pomiarów z coraz wi
ħ
ksz
Ģ
dokładno
Ļ
ci
Ģ
.
1
Krzywa dzwonowa mo
Ň
e by
ę
opisana przez funkcj
ħ
Gaussa.
x
2
−
Ä
x
2
Ô
du
Ň
e s
g
(
x
)
=
e
2
s
2
=
exp
Å
−
Õ
g
(
x
)
2
2
s
Æ
Ö
W tej postaci maksimum funkcji Gaussa
wyst
ħ
puje dla
x
=0. Oddalaj
Ģ
c si
ħ
od centrum
wzrasta warto
Ļę
x
2
/2s
2
, przy czym szybciej gdy
s jest mała i wolniej gdy s jest du
Ň
a.
s – szeroko
Ļę
funkcji Gaussa.
małe s
0
x
Funkcja Gaussa z centrum dla
x
p
:
g
(
x
)
(
x
−
x
)
2
2
1
p
Ç
×
−
(
x
−
x
)
p
g
(
x
)
=
e
2
s
2
=
exp
È
É
−
Ø
Ù
2
È
2
s
Ø
Tak zdefiniowana funkcja Gaussa nie jest
rozkładem granicznym, bowiem nie jest
spełniony warunek normalizacji.
0
0
x
p
x
2
(
x
−
x
)
¥
¥
p
−
2
Ð
g
(
x
)
dx
=
Ð
e
2
s
dx
=
s
2
p
2
−
¥
−
¥
u
=
x
−
x
p
2
s
2
(
x
p
−
x
)
¥
¥
¥
−
d
x
u
2
2
−
2
−
u
Ð
Ð
e
2
s
dx
=
du
=
=
s
2
Ð
e
du
I
=
e
du
s
2
−
¥
−
¥
−
¥
dx
=
s
2
du
2
Å
¥
−
x
2
Õ
Å
¥
−
y
2
Õ
¥
¥
−
(
x
2
+
y
2
)
I
=
Ð
e
dx
Ð
e
dy
=
Ð Ð
e
dx
dy
=
2
Æ
Ö
Æ
Ö
−
¥
−
¥
−
¥
−
¥
Ê
x
Î
(
−
¥
,
¥
)
¼
Ê
j
Î
(
0
2
p
)
Ê
x
=
r
cos
j
y
Î
(
−
¥
,
¥
)
r
Î
(
0
¥
)
dr
y
=
r
sin
j
ds
=
dxdy
¼
ds
=
rd
j
2
p
¥
¥
t
=
r
2
¥
¥
−
r
2
−
r
2
−
t
−
u
2
2
=
Ð
d
j
Ð
dr
re
=
2
p
Ð
dr
re
=
dt
=
2
rdr
=
p
Ð
e
dt
=
p
¼
Ð
e
du
=
p
0
0
0
1
0
−
¥
rdr
=
dt
2
(
x
−
x
)
2
¥
p
−
2
Ð
e
2
s
dx
=
s
2
p
−
¥
3
Ä
Ô
Ä
Ô
(
x
−
x
)
¥
¥
−
p
1
2
1
=
Ð
f
(
x
)
dx
=
N
Ð
e
2
s
dx
=
N
s
2
p
¼
N
=
s
2
p
−
¥
−
¥
(
x
−
x
)
1
−
p
Rozkład normalny
f
(
x
)
=
e
2
s
2
x
,
s
p
s
2
p
f
(
x
)
Je
Ļ
li rozkładem granicznym wyników pomiarów jest funkcja Gaussa to podlegaj
Ģ
one rozkładowi normalnemu
1
Mała warto
Ļę
s – rozkład o ostrym maksimum,
du
Ň
a dokładno
Ļę
pomiarów
Du
Ň
a warto
Ļę
s – rozkład rozmyty, mała
dokładno
Ļę
pomiarów
0
0
x
p
x
4
2
2
¥
−
u
2
Warto
Ļę
Ļ
rednia
Ð
e
du
=
p
x
−
x
−
¥
u
=
p
2
s
2
(
x
−
x
)
¥
¥
p
¥
1
−
x
=
x
+
s
2
1
2
2
−
u
x
=
Ð
xf
(
x
)
dx
=
Ð
xe
2
s
dx
=
p
=
Ð
(
x
+
s
2
u
)
e
s
2
du
x
,
s
p
p
s
2
p
d
x
s
2
p
−
¥
−
¥
du
=
−
¥
s
2
dx
=
s
2
du
Ç
×
1
¥
−
2
¥
−
u
2
=
È
x
Ð
e
du
+
s
2
Ð
ue
du
Ø
=
x
p
p
p
È
Ø
−
¥
−
¥
&
)'
)(
È
Ø
É
Ù
0
Je
Ļ
li wyników pomiarów podlegaj
Ģ
rozkładowi normalnemu to warto
Ļę
Ļ
rednia na
podstawie bardzo długiej serii pomiarowej jest równa warto
Ļ
ci
Ģ
prawdziw
Ģ
x
p
.
Wynik ten jest zupełnie
Ļ
cisły dla niesko
ı
czonej serii pomiarowej.
Dla długiej, lecz sko
ı
czonej, serii pomiarowej warto
Ļę
Ļ
rednia b
ħ
dzie zbli
Ň
ała si
ħ
do
warto
Ļ
ci prawdziwej.
x
®
x
p
5
u
È
Ø
u
[ Pobierz całość w formacie PDF ]