Wykład 01, SIMR 1ROK, SIMR SEM 1, ANALIZA, Wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 1, 2013-10-04Zbiory - oznaczenia, operacjeOznaczenia zbiorów:N={1,2, 3.. . .}- zbiór liczb naturalnychZ={0, ±1, ±2, ±3.. . .}- zbiór liczb całkowitychpQ={:p, q∈Z,q= 0} - zbiór liczb wymiernychqR- zbiór liczb rzeczywistych< a, b >, (a,b >, (−∞,b >, (a,∞)i.t.p. - przedziałyDziałania na zbiorach:A∪B- suma zbiorówA∩B- iloczyn zbiorów (przecięcie)A\B- różnica zbiorówA- dopełnienie zbioruAUwaga:Użwyając dopełnienie zakłabamy, że zbiórAjest podzbiorem jakiegoś większego,ustalonego zbioru (najczęściejR. WtedyA=R\AA×B={(a,b):a∈A, b∈B}- iloczyn kartezjański zbiorówPrzykład 1:NiechA={1,2} , aB={1,2, 3}. Wtedy:A×B={(1,1),(1, 2),(1, 3),(2, 1),(2, 2),(2, 3)}Przykład 2:NiechA=< 1, 3>, aB=< 1, 2>.Wtedy:A×Bjest prostokątem:2B1A×B1A3Dla iloczynu kartezjańskiego tego samezgo zbioru przez siebie stosujemy oznaczenie:A2=A×A,A3=A×A×Ai.t.p.FunkcjeFunkcją nazywamy trójkę (X,Y, W) , gdzieX, Ysą zbiorami, aW⊂X×Yjest podzbioremiloczynu kartezjańskiego mającym własność:Dla każdegox∈Xistnieje dokładnie jeden elementy∈Ytaki, że (x,y)∈WZbiórXnazywamy dziedziną funkcji,Yprzeciwdziedziną funkcji, aWwykresem funkcji.Stosujemy też oznaczenie:y=f(x) zamiast (x,y)∈W, orazf:X→YElementxnazywamy argumentem funkcji, ay=f(x) obrazem lub wartością funkcji.JeśliA⊂Xjest podzbioremXto zbiórf(A) ={y ∈Y: (∃x∈X)obrazem zbioruA.1y=f(x)} nazywamyObraz dziedzinyf(X) nazywamy zbiorem wartości funkcji.JeśliB⊂Yjest podzbioremYto zbiórf−1(B) ={x ∈X: (∃y∈B)przeciwobrazem zbioruB.y=f(x)} nazywamyFunkcja jest ’na’ wtedy i tylko wtedy, gdyf(X) =Y- zbiór wartości jest równy przeciw-dziedzinie. Inaczej można to sformułować: przeciwobraz zbioru niepustego jest niepusty.Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz zbioru jednoelemen-towego jest zbiorem jednoelementowym lub pustym: (∀x1, x2∈X) x1=x2=⇒f(x1) =f(x2)Jeżeli funkcja jest różnowartościowa i ’na’ to istnieje funkcja odwrotnaf−1:Y→Xzdefi-niowana następująco:(∀x∈X, y∈Y)x=f−1(y)⇔y=f(x)Taką funkcję nazywamy też bijekcją.Uwaga:Zmiast funkcja używa się też sformułowań: przekształcenie, odwzorowanie, trans-formacja, operator, działanie.Elementy logikip- zdanie. Może być prawdziwe albo fałszywep(x),p(x, y)i.t.p - funkcja zdaniowa jednej lub wielu zmiennych. Dla pewnych wartościzmiennych może być prawdziwa, dla innych fałszywa.Uwaga:W poniższych przykładach zmiennex, y∈R.Przykład:Funkcja zdaniowap(x):x >1 jest prawdziwa dlax= 2 , a fałszywa dlax= 0√Funkcja zdaniowap(x):x2=xjest prawdziwa dlax0 , a fałszywa dlax <NegacjaStosowane oznaczenia:∼p¬pCzytamy: niep; nieprawda, żepWartość logiczna: Negacja∼pjest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy zdaniepjest fałszywe.KoniunkcjaOznaczenia:p∧qCzytamy:piqWartość logiczna: Koniunkcjap∧qjest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześniepiqsą prawdziwe.AlternatywaOznaczenia:p∨qCzytamy :plubqWartość logiczna: Alternatywap∨qjest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdypjest prawdziwelubqjest prawdziwe.ImplikacjaOznaczenia:p⇒qCzytamy: Jeśliptoq; zpwynikaq;qwtedy, gdyp;pjest warunkiem dostatecznym dlaq;qjest warunkiem koniecznym dlap2Wartość logiczna: Implikacjap∨qjest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdypjest fałszywelubpiqsą prawdziwe.RównoważnośćOznaczenia:p⇔qCzytamy:qjest równoważneq;qwtedy i tylko wtedy, gdyp;pjest warunkiem koniecznymi dostatecznym dlaqWartość logiczna: Równoważnośćp⇔qjest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdypiqsąprawdziwe lubpiqsą fałszywe.KwantyfikatoryKwantyfikator ogólny:Dla każdegox,dla wszystkichxOznaczenia:∀xxKwantyfikator szczegółowy:Istniejex∃xxUwaga:Niechp(x)będzie funkcją zdaniową. Wtedy∃xp(x)jest zdaniem, a nie funkcjązdaniową zmiennejx.Mówimy, żexjest zmienną związaną. Np. zdanie∃x(x>1) jestprawdziwe, a zdanie (x>1) prawdziwe dlax= 2, fałszywe dlax= 0 .Pewne prawa logiczne:∼(p∨q)≡(∼p)∧(∼q)∼(p∧q)≡(∼p)∨(∼q)p⇒q≡(∼q)⇒(∼p)- dowód nie wprost∼(p⇒q)≡p∧(∼q)p⇒q≡(p∧(∼q)⇒Fałsz) - dowód przez doprowadzenie do sprzeczności∼ ∀xp(x)≡ ∃x ∼p(x)∼ ∃xp(x)≡ ∀x ∼p(x)KresyNiechA⊂Rbędzie dowolnym zbiorem liczb rzeczywistych. WtedyDefinicja:Mjest ograniczeniem górnym (dolnym) zbiotuA⊂Rwtedy i tylko wtedy, gdy:∀x ∈A x M(xM)LiczbęMnazywamy ograniczeniem górnym ciagu.Definicja:ZbiórA⊂Rjest ograniczony od góry (od dołu) wtedy i tylko wtedy, gdy istniejeograniczenie górne (dolne). Zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczonyzarówno od góry jak i od dołu.Definicja:Elementem największym (maksimum) zbioruA⊂Rnazywamy elementy∈Abędący ograniczeniem górnym zbioruA.Oznaczamy:y= maxA3Definicja:Elementem najmniejszym (minimum) zbioruA⊂Rnazywamy elementy∈Abędący ograniczeniem dolnym zbioruA.Oznaczamy:y= minAPzrykład:min<0, 1>= 0min (0, 1>nie istniejemin (−∞, 1>nie istniejeUwaga:W przykładzie 2 zbiór jest ograniczony od dołu, ale nie ma elementu najmniejszaego.Definicja:Kresem górnym (supremum) zbioruA⊂Rnazywamy najmniejszy elementzbioru ograniczeń górnych zbioruA.Oznaczamy:y= supADefinicja:Kresem dolnym (infimum) zbioruA⊂Rnazywamy największy element zbioruograniczeń dolnych zbioruA.Oznaczamy:y= infAPrzykład:inf<0, 1>=max (−∞, 0>=inf (0, 1>=max (−∞, 0>=inf (−∞, 1>=max∅nie istniejeUwaga:Jeżeli nie istnieje kres górny zbioruA⊂Rto stosuje się też oznaczenie:supA=∞Jeżeli nie istnieje kres dolny zbioruA⊂Rto stosuje się też oznaczenie:infA=−∞Aksjomat ciągłości:Każdy niepusty, ograniczony od góry podzbiór zbiou liczb rzeczywi-stych ma kres górny.Uwaga 1:Wynika stąd, że każdy niepusty, ograniczony od dołu podzbiór zbiou liczb rze-czywistych ma kres dolny.Uwaga 2:Jest to bardzo ważna własność zbioru liczb rzeczywistych. Własności tej nie mazbiór liczb wymiernych.4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]