Wyklad8, Ubik - Materiały, Semestr I, Algebra
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Algebra25 stycznia 2015A. Strojnowskistr.29Wykªad 81) Wektoryv, w∈Ennazywamy ortogonalnymi lub prostopadªymi gdyv, w= 0.(symbolicznie:v⊥w⇐⇒v, w= 0)2) Dla zbiorówA, BpiszemyA⊥Bgdyv⊥wdla wszystkichv∈Aiw∈B. GdyA={v}, piszemyv⊥BzamiastA⊥B.3) DlaX⊂Endeniujemy zbiórX⊥={v ∈En:v⊥X}. ZbiórX⊥nazywamy dopeªnieniem ortogonalnym zbioruXw przestrzeniEn.Denicja 8.1Stwierdzenie 8.21) Dla niezerowych wektorówv, w∈En, v⊥w⇐⇒k¡t mi¦dzy wektoramiv, wrówna si¦π/2.2)X⊥jest podprzestrzeni¡En.Dowód. 1) jest oczywiste.2) Sprawdzamy, »e zbiórstrzeni liniowej.ªó»my, »emamyNp.X⊥jest zamkni¦ty ze wzgl¦du na dziaªania prze-Za-sprawdzimy zamkni¦to±¢ wzgl¦dem dodawania.Wówczas równie»v, w∈X⊥.v+w∈X⊥,bo dla dowolnegox∈Xv+w, x=v, x+w, x= 0 + 0 = 0.Stwierdzenie 8.3W∩W⊥={θ}.Twierdzenie 8.4NiechV⊂Rnb¦dzie przestrzeni¡ rozwi¡za« jednorodnegow1w2ukªadu równa« liniowych o macierzyM=....wtWówczasV=W⊥, gdzieW= lin{w1, w2, . . . , wt}⊥Wniosek 8.5NiechWb¦dzie podprzestrzeni¡ przestrzeni euklidesowejEn.WówczasEn=W⊕W⊥.1) Rzutem prostopadªym naWnazywamy rzut naWwzdªu»W⊥.2) Symetri¡ prostopadª¡ wzgl¦demWnazywamy symetri¦ wzgl¦demWwzdªu»W⊥.jednostkowy), gdy ma dªugo±¢1.2) Baz¦ przestrzeniRnzªo»on¡ z wektorów parami ortogonalnychnazywamy baz¡ ortogonaln¡.3) Baz¦ ortogonaln¡ przestrzeniRnzªo»on¡ z wektorów unormowanychnazywamy baz¡ ortonormaln¡.Denicja 8.6NiechWb¦dzie podprzestrzeni¡ przestrzeni euklidesowejV.Denicja 8.71) Mówimy »e wektorv∈Rnjest unormowany(inaczej :Algebra25 stycznia 2015A. Strojnowskistr.30Przykªadem bazy ortonormalnej wn{e1, e2, . . . , en}.Zaªó»my, »ev∈Rjest niezerowy, niecht=v. Wówczas wektortvjest ju» unormowany. Dlatego, maj¡c baz¦ ortogonaln¡ przestrzeniEnªatwojest baza standardowa−1Enotrzyma¢ baz¦ ortonormaln¡, odpowiednio wydªu»aj¡c lub skracaj¡c wektorybazowe.Twierdzenie 8.8NiechA= (α1, α2, ..., αn)b¦dzie baz¡ ortonormaln¡ prze-nstrzeniV⊂En. Wówczas zapis w bazieAdowolnego wektoraβ∈Vwygl¡danast¦puj¡co:β=i=1β, αiαi.Algorytm ortogonalizacji Grama - Schmidta.NiechIndukcyjnie budujemy baz¦ ortogonaln¡:A= (α1, α2, ..., αn)b¦dzie baz¡ przestrzeni euklidesowej{En·;· }.j−1i=1αj;γiγi;γi1γ1=α1.2γj=αj−γi.Twierdzenie 8.9Wektory uzyskane metod¡ Grama - Schmidta s¡ paramiprostopadªe. Ponadto dla ka»degojrówne s¡ przestrzenielin{α1, α2, ..., αj}= lin{γ1, γ2, ..., γj}.Vza±(γ1, γ2, ..., γj)baz¡ ortogonaln¡W. Wówczas rzut prostopadªy naWα;jest okre±lony wzorem:π(α)=j γi;γiiγi.i=1γTwierdzenie 8.10NiechWb¦dzie podprzestrzeni¡ przestrzeni euklidesowejDenicja 8.11NiechAiBb¦d¡ niepustymi podzbiorami przestrzeniEn. Odlegªo±ci¡mi¦dzy tymi zbiorami nazywamy liczb¦d(A; B)=inf{d(a;b) a∈A, b∈B}b¦d¡c¡ kresem dolnym odlegªo±ci.b= 0}b¦dzie podzbiorem przestrzeni euklidesowej za±P= (p1, p2, ..., pn)punk-Twierdzenie 8.12NiechH={(x1, x2, ..., xn)∈Ena1x1+a2x2+...+anxn+tem. Wówczas odlegªo±¢ mi¦dzy nimi jest równad(H; P) =Denicja 8.13|a1p1+a2p2+...+anpn+b|√a2+a2+...+a2n12.Iloczynem wektorowym w przestrzeniE3ze standardow¡ orientacj¡ nazy-wamy2- liniowe przeksztaªcenieϕzE3w siebie okre±lone wzoremα1×α2= (a1, a2, , a3),α1=x1a1+x2a2+x3a3.α2gdziedetx1, x2, x3Algebra25 stycznia 2015A. Strojnowskistr.31Twierdzenie 8.14Niechα1, α2∈En. Wówczas:a)α1⊥(α1×α2)iα2⊥(α1×α2)b)α1×α2=W(α1, α2),c) je»eli wektoryα1iα2s¡ liniowo niezale»ne to(α1, α2, α1×α2)jest baz¡zorientowan¡ zgodnie ze standardow¡.Twierdzenie 8.15Niech(α1, α2, α3)⊂E3.Wówczas wówczas obj¦to±¢ wielo±cianuR(α1, α2, α3)jest równaµ3(R(α1, α2, α3)) =|α1×α2;α3|.Twierdzenie 8.16Niechl1=A+tα, t∈Ril2=B+−→t∈Rb¦d¡tα,równolegªymi prostymi wE3wówczas odlegªo±¢ρ(l1, l2) =|α×AB||α|.Twierdzenie 8.17Niechl1=A1+tα, t∈Ril2=B+tβ, t−∈Rb¦d¡ nie→równolegªymi prostymi wE3wówczas odlegªo±¢ρ(l1, l2) =|α×β;AB||α×β|.Denicja 8.18Niechf:{V1.; .1} → {V2.; .2}. Powiemy, »efjest izo-metri¡ liniow¡ gdyfjest przeksztaªceniem liniowym i zachowuje iloczyn ska-larny. To znaczy∀α,β∈V1α; β1=f(α);f(β)2.Twierdzenie 8.19Niechf:En→EniAb¦dzie baz¡ ortonormaln¡En.Wówczasfjest izometri¡ liniow¡ wtedy i tylko wtedy gdyT−1M(f )A=M(f )A.AAPrzykªad 8.20Macierz¡ obrotuE2o k¡tϕjestM=M MT=I.cosϕ−sinϕsinϕcosϕiTwierdzenie 8.21Niechf:En→Enb¦dzie symetri¡. Wówczasfjestizometri¡ liniow¡ wtedy i tylko wtedy gdy gdy jest symetri¡ prostopadª¡.Twierdzenie 8.22Ka»da izometria jest zªo»eniem symetrii prostopadªych.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]