Wyklad 12, Zarządzanie, Matma wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rachunek całkowy funkcji jednej
zmiennej
Całka oznaczona
Twierdzenie (podstawowe twierdzenie rachunku
całkowego)
Jeżeli
xf
)
(
)
dx
C
F
(
x
to
b
b
xf
)
(
)
dx
F
(
x
)
a
a
F
(
b
)
F
(
a
gdzie:
f
(
x
) – funkcja podcałkowa zmiennej
x
a
– dolna granica całkowania
b
– górna granica całkowania
F
(
x
) – funkcja pierwotna.
Całka oznaczona nie zależy od wyboru funkcji
F
, zależy
natomiast od funkcji
f
i od granic całkowania
a
i
b
. Całka
oznaczona jest
liczbą
, zmienna
x
występuje tu jako tzw.
zmienna związana – wartość całki nie ulegnie zmianie,
jeśli
x
zastąpimy inną zmienną, np.
t
:
b
b
xf
)
(
)
dx
f
(
t
dt
a
a
Praktycznie, wyznaczenie całki oznaczonej
polega na policzeniu całki nieoznaczonej
i podstawieniu funkcji pierwotnej do granic
całkowania.
Przykład
1
1
x
1
1
1
1
xdx
2
1
2
0
2
2
2
2
2
0
0
Podstawowe własności całki oznaczonej
Jeżeli funkcje
f
i
g
są ciągłe w przedziale
b
a
,
,
a
<
b
,
c
– oznacza pewną stałą, to:
b
b
b
1.
xf
)
(
)
g
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
dx
;
a
a
a
b
b
2.
fc
)
(
x
)
dx
c
f
(
x
dx
;
a
a
b
c
b
3.
Jeżeli
b
a
c
, to
xf
)
(
)
dx
f
(
x
)
dx
f
(
x
dx
;
a
a
c
b
b
4.
xf
)
(
)
dx
f
(
x
dx
;
a
a
a
5.
xf
0
(
)
dx
;
a
b
a
6.
xf
)
(
)
dx
f
(
x
dx
;
a
b
[ Pobierz całość w formacie PDF ]