wyklad5, obrona mgr CZ 1 z 2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Wykład 5
PŁASKIE ZADANIE TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
Płaski stan naprężenia
W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwch
wymiarw. Przykładem może być cienka tarcza obciążona siłami działającymi w jej
płaszczyźnie (por. rys.). Na powierzchniach
n
i
x
3
,
33
32
31
0
,
gdyż te
powierzchnie są wolne od obciążeń. Wobec małej grubości możemy przyjąć, że
33
,
32
,
31
są pomijalnie małe wewnątrz tarczy. W dowolnym punkcie tarczy mamy zatem następujący
stan naprężenia,
11
12
0
ij
21
22
0
i
σ =
ij
ij
(
x
1
,
x
2
)
,
0
0
0
nie zależą więc od
x
3
. Jest to przypadek płaskiego stanu naprężenia.
Rżniczkowe rwnania rwnowagi (rwnania Naviera) przyjmą tu postać taką
ij
i
X
j
0
,
albo po rozpisaniu
11
'
21
'
2
31
'
3
X
1
0
,
12
'
22
2
32
3
X
2
0
,
13
'
23
'
2
33
'
3
X
3
0
.
'
'
'
2
Trzecie rwnanie jest spełnione tożsamościowo gdyż
X
3
=0 (nie ma żadnych obciążeń w
tym kierunku).
Z dwch pierwszych rwnań dostaniemy
11
'
21
'
2
X
1
0
,
12
'
22
'
2
X
2
0
.
Zapiszmy naprężeniowe warunki brzegowe
p
j
ij
n
i
,
ktre po rozpisaniu przyjmują postać
p
1
11
n
1
21
n
2
31
n
3
,
p
2
12
n
1
22
n
2
32
n
3
,
p
3
13
n
1
23
n
2
33
n
3
.
Tu także trzecie rwnanie jest spełnione tożsamościowo gdyż
p
3
=0 (nie ma żadnych
obciążeń w tym kierunku), a z dwch pierwszych otrzymujemy
p
1
11
n
1
21
n
2
,
p
2
12
n
1
22
n
2
.
Zapiszmy jeszcze związki geometryczne Î rwnania CauchyÓego.
1
u
u
,
ij
i
'
j
j
i
2
z ktrych po rozpisaniu otrzymujemy
u
,
u
,
u
,
1
u
u
.
11
1
22
2
'
2
3
3
3
3
12
1
2
2
'
2
Pozostałe
ij
0
,
a wynika to ze związkw fizycznych
1
(
)
.
ij
E
ij
kk
ij
W dowolnym punkcie tarczy mamy zatem następujący stan odkształcenia,
11
12
0
ij
21
22
0
i
ε =
ij
ij
(
x
1
,
x
2
)
,
0
0
33
'
3
Warto zwrcić uwagę, że płaskiemu stanowi naprężenia towarzyszy przestrzenny stan
odkształcenia (tu pojawia się także
33
).
Kolejną grupą rwnań są warunki nierozdzielności.
Spośrd sześciu warunkw
e
ikm
e
jln
kl
'
mn
0
pozostaje tu tylko jeden, dla
j
=
i
=3
11
'
22
22
'
11
2
12
'
12
.
Mamy jeszcze do dyspozycji związki fizyczne w postaci uoglnionego prawa HookeÓa
1
(
)
.
ij
E
ij
kk
ij
Rozpiszmy je
1
,
11
E
11
22
1
,
22
E
22
11
1
E
33
,
33
11
22
11
22
E
1
,
0
0
.
12
E
12
13
23
Zauważmy jeszcze, że
1
,
11
22
E
11
22
22
11
1
,
11
22
E
11
22
a korzystając z wyrażenia na sumę naprężeń wyprowadzonego wyżej
11
22
E
33
,
otrzymamy
11
22
1
33
,
4
albo
33
1
11
22
.
Taką zależnością związane są odkształcenia
33
z odkształceniami
11
i
22
.
Odwrćmy jeszcze związki fizyczne otrzymane wyżej
1
,
11
E
11
22
1
.
22
E
22
11
Po rozwiązaniu względem składowych stanu naprężenia otrzymamy
E
,
11
1
2
11
22
E
,
22
1
2
22
11
oraz
E
.
12
12
1
Płaski stan odkształcenia
Przykładem ciała, w ktrym występuje płaski stan odkształcenia może być tunel,
rurociąg, inna konstrukcja ktrej wymiar wzdłużny znacznie przewyższa pozostałe wymiary
(por. rys). Wszystkie obciążenia powinny działać prostopadle do osi wzdłużnej i powinny
być stałe na długości obiektu. Warunki podparcia nie powinny się zmieniać w kierunku osi
x
3
, stąd
u
3
0
a
1
,
u
2
zależą tylko od
x
1
,
x
2
.
Mamy zatem
u
u
1
(
x
1
,
x
2
)
,
u
2
u
2
(
x
1
,
x
2
)
,
u
3
0
.
Z rwnań CauchyÓego
u
1
5
1
u
u
,
ij
2
i
'
j
j
i
otrzymamy
u
,
u
,
u
0
,
1
u
u
,
0
.
11
1
22
2
'
2
3
3
3
3
12
2
1
2
2
'
13
23
W każdym punkcie takiego obiektu występuje następujący stan odkształcenia
11
12
0
ij
21
22
0
0
0
0
i wszystkie
ij
ij
(
x
1
,
2
)
.
Jest to przypadek
płaskiego stanu odkształcenia
.
Ze związkw fizycznych
1
(
)
,
ij
E
ij
kk
ij
otrzymujemy
1
(
)
0
(
)
,
33
33
11
22
33
11
22
E
1
(
)
,
11
11
22
33
E
1
[
(
)]
,
11
E
11
22
11
22
skąd
'
[ Pobierz całość w formacie PDF ]