Wyklady z matematyki I sciaga, MATMA, matematyka, Wykłady na telefon PDF-sciaga na egzamin, wyklady I-V
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rozdział I Zagadnienia wstępne
∞
1 1
1
∑
1
+ + + =
...
= +∞
2 3
k
k
1. Rachunek zdań.
=
1
∞
1
Będziemy posługiwać się językiem, składającym się ze zdań,
interesuje nas budowa logiczna zdania. Zdaniom
przyporządkowujemy wartości logiczne: prawdę lub fałsz.
Funkcją zdaniową nazywamy wyrażenie, które zawiera zmienną
przyjmującą wartości z pewnego zakresu, przy czym
podstawienie konkretnej wartości zmiennej prowadzi zawsze do
zdania prawdziwego lub zdania fałszywego.
Np. wyrażenie f(p) da p € X jest funkcją zdaniową jednej
zmiennej. Funkcja zdaniowa może zależeć o wielu zmiennych
np. f(p
1
), ... f(p
n
) gdzie p
1
X
1
, ... p
n
X
n
jest funkcją zdaniową n
zmiennych. Jeżeli zmienna funkcji zdaniowej przyjmuje
wartości, które są zdaniami, to nazywamy ją
zmienną zdaniową.
Jeżeli p,q,r są zdaniami to przy pomocy tak zwanych funktorów
zdaniotwórczych:
koniunkcji Λ („oraz”)
implikacji => („implikuje”)
alternatywie V („lub”)
równoważności
ö
można tworzyć zdania złożone. Jeżeli p,q,r... są zmiennymi
zdaniowymi to przy pomocy funktorów zdaniotwórczych można
utworzyć następujące funkcje zdaniowe.
Koniunkcje pΛg
Implikacje p => q
Alternatywę p∨q
Równoważność p
ö
q
Przykłady:
1. NIECH
p = prosta l leży na płaszczyźnie a
q = punkt p leży na płaszczyźnie l
r = punkt p leży na płaszczyźnie a
Zdanie (pΛg)=>r jest zdaniem złożonym. Jest to zdanie
prawdziwe.
2. NIECH
p – liczba całkowita x podzielna przez 3
q – liczba całkowita x jest parzysta
r – liczba całkowita x jest podzielna przez 5
Funkcja zdania (pΛg)=>r dla xΕC zbiór liczb całkowitych jest
zdaniem prawdziwym np. dla x liczby całkowitej x=30. Dla
pewnych xΕC funkcja ta jest zdaniem fałszywym, np. dla x=6
Wartość logiczna „prawda” będziemy oznaczać cyfrą „1”
Wartość logiczną fałsz będziemy oznaczać cyfrą „0”. Wartości
logiczne funkcji zdaniowych :
A. koniunkcja pΛq
P/q
∑
< ∞
Α
>
1
Ciekawostka
k
k
Α
=
1
Funkcję zdaniową, która po podstawieniu w miejsce zmiennych
zdań o dowolnej wartości logicznej jest zawsze zdaniem
prawdziwym nazywamy tautologią.
Przykłady tautologii:
Prawo transpozycji
(q’=>p’)
ö
(p=>q)
Prawo sylogizmu
[(p=>q) Λ(q=>r)]=>(p=>r)
Prawa de Morgana
(pΛq)’
ö
(p’Vq’)
(pVq)’
ö
(p’Λq’)
4. Zaprzeczenie implikacji
(p=>q)’
ö
(pΛq’)
5. Równoważność
(p
ö
q)
ö
[(p=>q) Λ(q=>p)
Sprawdzenie czy dana funkcja zdaniowa jest tautologią
dokonujemy stosują tak zwana metodę prób zerojedynkowych.
Polega ona na tym, że badamy wszystkie możliwe przypadki
wartości logicznych zdań podstawianych w miejsce zmiennych.
Ćwiczenie: Sprawdzić czy funkcja zdaniowa pV(qΛr)
ö
((pVq)
Λ(pVr)) jest tautologią.
2. Kwantyfikatory.
Niech p(x) będzie funkcją zdaniową zmiennej X z zakresem
zmienności X. Kwantyfikatorem szczegółowym nazywamy
słowo „istnieje”. Natomiast kwantyfikatorem ogólnym
nazywamy słowa „dla każdego”. W dalszym ciągu
kwantyfikator szczegółowy będziemy oznaczać ∃, natomiast
kwantyfikator ogólny oznaczać symbolem ∀. Kwantyfikator
szczegółowy oznaczamy też symbolem V a kwantyfikator
ogólny symbolem Λ. Wyrażenia
( ) lub
∃
∀
p x
p x
( )
są zdaniami.
x X
Ε
x X
Ε
Przykþady:
Zdanie
∃
2
x
+ + =
x
1 0
zdanie jest fałszywe.
x R
Ε
∀ ∀
2
2
2
(
x
+
y
)
= +
x
2
xy
+
y
Zdanie
jest zdaniem
x R
Ε
y R
Ε
1
0
prawdziwym.
Jeżeli funkcja zdaniowa zależy od większej ilości zmiennych, to
zdanie budowane z niej przy pomocy kwantyfikatorów zawiera
tyle kwantyfikatorów ile jest zmiennych (przykład: załóżmy, że
zakres zmienności X składa się ze skończonej ilości elementów
x
1
, x
2
, x
n
. Wtedy dla funkcji zdaniowej p(x) otrzymujemy
[
1
1
0
0
0
0
B. implikacja
p=>q
P/q
1
0
1
1
0
0
1
1
]
∃
∀
p x
( )
⇔
p x
( )
∨
p x
( )...
∨
p x
( )
oraz
C. alternatyw
a pVq
P/g
1
2
n
1
0
x X
Ε
[
]
1
1
1
p x
( )
⇔
p x
( )
∧
p x
( )...
∧
p x
( )
1
2
n
0
1
0
x X
Ε
Stąd :
D. równoważ
ność p
ö
q
P/g 1 0
1 1 0
0 0 1
Powyższe funktory zdaniotwórcze nazywamy funktorami
dwuczłonowymi. Funktory jednoczłonowe to:
potwierdzenie i
negacja.
Potwierdzenie zdania p to zdanie p. Wartości logiczne negacji
zdania p to znaczy zdania
p’.
P
|
⇔
[
]
∃
|
p x
( )
p x
( )
∨
p x
( )...
∨
p x
( )
⇔
1
2
n
x X
Ε
|
|
|
∀
|
⇔
p x
( )
∧
p x
( )...
∧
p x
( )
⇔
( ( ))
p x
1
2
n
x X
Ε
Podobnie otrzymujemy :
|
⇔
[
]
|
p’
∀
p x
( )
p x
( )
∧
p x
( )...
∧
p x
( )
⇔
1
2
n
1
0
x X
Ε
0
1
|
|
|
∃
|
⇔
p x
( )
∨
p x
( )...
∨
p x
( )
⇔
( ( ))
p x
1
2
n
Mówimy, że zdanie p jest warunkiem koniecznym dla zdania q,
jeżeli q=>p. Zdanie p jest warunkiem dostatecznym dla zdania
q, jeżeli p=>q.
Mówimy, że p jest warunkiem dostatecznym i koniecznym dla
q, gdy prawdziwe jest zdanie (q=>p)Λ(p=>q) lub, równoważne
p
ö
q.
x X
Ε
można udowodnić, że dla dowolnego zakresu zmienność X
zachodzą prawa de Morgana.
|
⇔
∀
∃
|
p x
( )
( ( )) ;
p x
x X
Ε
x X
Ε
Przykłady :
1. NIECH
p = dwie proste w przestrzeni nie przecinają się
q = dwie proste w przestrzeni równoległe
Widać, że jeżeli q=>p oraz p=>q. Zatem nie przecinanie się
prostych w przestrzeni jest warunkiem koniecznym, ale nie
dostatecznym równoległości prostych w przestrzeni, gdyż tzw.
Proste wichrowe nie są równoległe i nie przecinają się.
2. NIECH
p = suma nieskończona liczb rzeczywistych (a
1
, a
2
, itd.)
|
⇔
∃
∀
p x
( )
( ( ))
p x
|
x X
Ε
x X
Ε
Zdanie, w którym kilka kwantyfikatorów poprzedza funkcję
zdaniową negujemy zamieniając kwantyfikatory szczegółowe na
ogólne, a ogólne na szczegółowe i negując funkcję zdaniowa.
|
⇔
∀ ∀ ∃
p x y z
( , , )
∞
≡ + + =
∑
jest liczbą rzeczywistą
x
y
z
p
a
a
...
a
Np.
1
2
k
k
=
1
∃ ∃ ∀
⇔
( ( , , ))
p x y z
|
→∞
≡ =
Wtedy można udowodnić, że
p=>q jest prawdziwe
(Warunek konieczny zbieżność szeregów)
oraz q=>p jest fałszywe gdyż np.:
q
lim
a
0
x
y
z
n
n
1
Kolejność kwantyfikatorów można zmieniać w następujących
przypadkach:
prawa de Morgana
A\(B∪C)=(A\B) ∩(A\C)
A\(B∩C)=(A\B) ∪(A\C)
przemienności
A∪B=B∪A A∩B=B∩A
łączności
A∪(B∪C)=(A∪B) ∪C
A∩(B∩C)=(A∩B) ∩C
rozdzielności
A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B) ∩ (A∪C)
Dla liczb rzeczywistych a,b,c należących do R zachodzi
równość:
a*(b+c)=a*b+a*c
a+b*c=(a+b)*(a+c)
Jeżeli ograniczymy się do rozpatrywania podzbioru danego
zbioru X to przy aΕX piszemy
∀ ∀
∀ ∀
p x y
( , )
⇒
p x y
( , )
x
y
y
x
∃ ∃
∃ ∃
p x y
( , )
⇒
p x y
( , )
y
x
y
x
Równoważność przy zmianie kolejności kwantyfikatora
ogólnego i szczegółowego nie jest prawdziwa. Jest jednak
słuszna implikacja:
( , )
∃ ∀
∀ ∃
p x y
⇒
p x y
( , )
. Dana funkcja
y
x
x
y
zdaniowa p(x) gdzie xΕX. Budując z p(x) zdanie, w pewnych
przypadkach, zawężamy zakres zmienności zmiennej zdaniowej
x. Biorąc pod uwagę wartości x, dla których jest prawdziwe
zdanie q(x). Wtedy
A X
=
Wtedy zbiór A’ nazywamy dopełnieniem zbioru A.
Prawa de Morgana dla dopełnień mają postać.
(
|
\
(
)
∀
∀
p x
( )
⇔
q x
( )
⇒
p x
( )
;
q x
( )
x X
Ε
)
|
A
∪
B
= ∩
A
|
B
|
;
(
)
∃
∃
p x
( )
⇔
p x
( )
∧
q x
( )
q x
( )
x X
Ε
(
A
∩
B
)
|
= ∪
A
|
B
|
∀ ∃
są ograniczonym zakresie.
;
Iloczynem kartezjańskim lub produktem kartezjańskim zbiorów
A,B nazywamy zbiór, który będziemy oznaczać przez AxB par
uporządkowanych A,B takich, że aΕA, bΕB tzn. AxB={(a,b):
aΕA, bΕB}
Np. Jeżeli A=B=(-∞;∞) to AxB jest zbiorem punktów
płaszczyzny. Można rozważać iloczyn kartezjański w
skończonej ilości zbiorów A
1
, A
x
, A
n
przyjmując
A
a
xA
2
x.........xA
n
={a
1
, a
2
, ….a
n
ΕA
n
; a
1
ΕA
1
; … a
n
ΕA
n
}
§ 4. Relacje i funkcje
Relacje
Relacją R między elementami zbioru A,B nazywamy podzbiór
iloczynu kartezjańskiego AxB.
Mówimy, że xΕA, oraz yΕB pozostają względem siebie w relacji
R, co zapisujemy xRy jeżeli para x,y należy do podzbioru R,
tzn.: R={(x,y) Ε AxB: xRy}
Relacja nierówności xRy
ö
x≥y w zbiorze ≡ iloczynie
kartezjańskim (-∞;∞)x(-∞;∞)
Relacje xRy x
2
+y
2
≤a
2
a>0 to zbiór punktów koła wraz z
okręgiem x
2
+y
2
=a
2
, o środku (0,0) i promieniu a
Relację xRy nazywamy porządkującą jeżeli zachodzą
następujące 4 warunki :
Kwantyfikatory
g x
( )
g x
( )
Przykþady:
Zadanie: Ciąg liczb rzeczywistych (a
n
) jest zbieżny do granicy
gΕR, zapisujemy następująco: dla dowolnie małej liczby
dodatniej Ε>0 istnieje liczba dodatnia N, taka, że dla każdej
liczby naturalnej n>N zachodzi nierówność |a
n
-q|<Ε
(
)
0
lim
n
a
=
g
⇔ ∀ ∃ ∀
a
− <
g
Ε
⇔
n
n
→∞
Ε
>
N
> >
0
n N
∀ ∃ ∀
⇔
> ⇒
n
N
a
− <
g
Ε
n
Ε
>
0
N
>
0
n N
∈
Ciąg (a
n
) o wyrazach rzeczywistych gdy jego wyrazy stale rosną
(maleją) nazywamy monotonicznym. Zdanie ciag (a
n
) jest
monotoniczny zapisujemy następująco:
∀
∀
a
<
a
∨
a
>
a
.
n
n
+
1
n
n
+
1
n N
Ε
x N
Ε
∀
∀
∀
∀
xRx zwrotnosc
x
3. Algebra zbiorów
Jako pojęcia pierwotne przyjmujemy zbiór, element zbioru,
przynależność elementu do zbioru. Zdanie xΕ należy do zbioru
A oznaczamy symbolem xΕA
Ponadto
(
(
xRy yRz
,
)
=>
xRz przechodnosc
x y z
, ,
(
xRy yRx
,
)
=> =
(
x
y
)
slaba asymetrycznosc
) (
)
|
x
∉
A
⇔
x
∈
A
x nie należy do zbioru A.
x y
,
Określamy:
Zawieranie, (inkluzja) zbioru A,B:
(
xRy
∨
yRx spojnosc
x y
,
)
(
) (
)
A
⊂
B
⇔ ∀
x
∈ ∧ ∈
A
x
B
jeżeli A⊂B, to A
x
Relacja ≤ w zbiorze (-∞;∞)X(-∞;∞) jest relacją porządkującą w
zbiorze liczb rzeczywistych. Relację porządkującą w zbiorze
liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem
Zbiór, w którym określona jest relacją porządkująca nazywamy
zbiorem uporządkowanym. To znaczy np. zbiór R z relacją ≥
jest uporządkowany. Relację R: zwrotną, przechodnią oraz słabo
symetryczną nazywamy częściowo porządkującą, oznaczamy ją
również symbolem
Przykþad
: Oznaczmy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru
niepustego X zbiorem tym określamy relację. Jeżeli (AΕX i
BΕX) => (A B
ö
A⊂B). Ponieważ:
A⊂A
jeżeli A⊂B ∧ B⊂C => A⊂C
A⊂B ∧ B⊂A => A=B
Jest to relacja częściowo porządkująca. Dla zbioru A,B⊂X
rozłącznych to znaczy takich, że A∩B=∅ nie zachodzi spójność
:
jest podzbiorem B.
Zbiory identyczne A,B
(
)
(
) (
)
A
=
B
⇔
A
⊂
B
∧ ⊂
B
A
;
(
)
(
) (
)
Ø
Zbiór A, jest zawarty z sposób właściwy w B lub jest
podzbiorem właściwym B. Zbiór pusty ∅ nazywamy zbiór,
który nie zawiera żadnego elementu. Ponieważ xΕ∅ => xΕA,
gdzie A jest osobnym zbiorem. Więc ∅ jest podzbiorem
dowolnego zbioru. Zbiór pusty oraz A nazywamy podzbiorami
niewłaściwymi zbioru A. Oznaczamy przez W(x) własności
elementu xΕX; zbiór elementów posiadających własności W(x)
oznaczamy symbolem
{
A
B
⇔
A
⊂
B
∧
A
≠
B
}
x X W x
Ε
: ( )
Np.:
1. Zbiór
( )
Funkcje
Relację f między elementami zbiorów X,Y nazywamy funkcją
określoną na zbiorze X i wartościach ze zbioru Y jeżeli:
2
2
x
y
{
}
x y
,
Ε
R
−
punkty plaszczyzny
+
≤
1
2
2
a
b
∧
∀ ∃
xfy
2. Zbiór
{
}
x R
Ε ≤
liczb rzeczywistych niedodatnich.
Działania na zbiorach .
Suma zbioru A,B
:
0
x X
Ε
y Y
Ε
Wtedy funkcję
(
)
∀ ∀ ∀
^
xfy
∧
xfz
⇒ =
y
z
{
}
( ) ( )
A
∪ =
B
x
:
x A
Ε
∨
x B
Ε
x X
Ε
y Y
Ε
z Y
Ε
f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y co zapisujemy następująco
f:X->Y lub y=f(x) dla xΕX. Zbiór X nazywamy wówczas
dziedziną funkcji f, a zbiór Y
0
={yΕY: y=f(x) dla xΕX}
nazywamy przeciwdziedziną funkcji f. Jeżeli Y
0
=Y to wtedy f
jest suriekcją X na Y. Relację f nazywamy funkcją
odwzorowującą zbiór X w zbiór Y lub funkcją wzajemnie
jednoznaczną albo iniekcją. Jeżeli
Iloczyn zbirów A,B
( ) ( )
{
}
∩ = ∧
Jeżeli A∩B=∅, to znaczy zbiory A i B są rozłączne.
Różnica zbiorów:
{
A
B
x
:
x A
Ε
x B
Ε
}
A B
\
=
x x
:
∈ ∧ ∉
A
x
B
Różnica symetryczna A\B
(
∀ ∃
∀ ∀ ∀
xfy
∧
xfy
∧
xfz
=> =
y
z
{
}
) (
) (
) (
)
A B
− =
x
:
x
∈ ∧ ∉
A
x
B
∨
x
∉ ∧ ∈
A
x
B
#
x X
Ε
y Y
Ε
x X
Ε
y Y
Ε
z Y
Ε
(
)
∀ ∀∀
xfy
∧
zfy
⇒ =
x
z
A-B=(A∪B)\(A∩B)
Zachodzą następujące prawa algebry zbiorów:
x X
Ε
y Y z X
Ε Ε
2
odwzorowującą przedział x⊂R w zbiór Y⊂R nazywamy wklęsłą
Przykþady:
Funkcja y=sinx, y=cosx dla xΕ(-∞;∞) nie są wzajemnie
jednoznaczne.
Funkcje (x,y)=(rcosΦ, rsinΦ, 0≤Φ≤2Π, 0≤r≤1 odwzorowuje
punkty prostokąta. X=<0, 2Π>X<0,1> na zbiór punktów koła
Y={(rcosΦ, rsinΦ) : yΕ<0, 2Π>, rΕ<0,1>}
x
2
+y
2
=r
2
cos
2
Φ+ r
2
sin
2
Φ=r
2
(cos
2
Φ+sin
2
Φ)=r
2
Określona w ten sposób funkcja nie jest wzajemnie
jednoznaczna gdyż środek koła Y oznacza punkt (0,0)
odpowiada bokowi prostokąta X określonej następująco: Y r=0,
ΦΕ<0,2>.
3. Każda funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej
rosnąca lub malejąca jest funkcją wzajemnie jednoznaczną np.
funkcja liniowa y=ax+b a≠0 jest funkcją wzajemnie
jednoznaczną. Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiorze Y
jeżeli
(
)
f q x
+
q x
≥
∀ ∀
1 1
2 2
jeżeli :
.
≥
q f x
( )
+
q f x
( )
x x
Ε
X
q q
q q
≥
+ =
0
1
`1
2
`2
1 2
1
2
f
1
2
4.2 Funkcje elementarne
Przyjmujemy następujące oznaczenia: R=(-∞,∞) – zbiór liczb
rzeczywistych.
(a,b)={zbiór tych xΕR a<x<b} przedział otwarty.
<a,b>={xΕR a≤x≤b} przedział domknięty.
Funkcja stała
Funkcję f określoną na zbiorze X⊂R o wartościach ze R
nazywamy stałą gdy :
∀
f x
( )
=
c R
Ε
x X
Ε
Funkcja schodkowa.
Niech a=x
0
≤x
1
≤x
2
≤...≤x
n-1
≤x
n
=b
Jeżeli f jest funkcją stałą w każdym przedziale. [x
i-1
,x
i
]
i=1,2,....,n to f nazywamy funkcją schodkową /Uwaga: Nawias [
] oznacza, że punkty X
i-1
,X
i
mogą należeć do przedziału lub
leża poza nim.
Niech f(x)=C
i
dla xΕ[ x
i-1
,x
i
] i=1,2,...,n
Wielomian.
Funkcję f określoną równością f(x)=a
0
x
n
+a
1
x
n-1
+a
2
x
n-2
+...+a
n-1
x+
a
n
gdzie n jest liczbą całkowitą nieujemną, a
0
,a
1
,..a
n
ΕR a
0
≠0
nazywamy wielomian stopnia n (wielomian algebraiczny). Jest
to funkcja określona dla każdego xΕR.
Funkcja wymierna.
Funkcja f, która jest ilorazem dwóch wielomianów, nazywa się
funkcją wymierną, np.:
∀ ∃
xfy
, jeżeli nie zakładamy powyższego, f
y Y
Ε
x X
Ε
odwzorowuje X w zbiór Y. Jeżeli funkcja fzX do Y jest
jednocześnie iniekcją oraz suriekcją, to mówimy, że f jest
bijekcją zbiorów X i Y. Funkcją odwzorowującą wzajemnie
jednoznacznie X na Y tzn. bijekcją, wyznacza również xΕX jako
funkcję yΕY otrzymaną w ten sposób oznaczamy przez f
-1
i
nazywamy funkcją odwrotną do f. Zatem wtedy zachodzi
nierówność yf
-1
x
ö
xfy:
Przykþady:
Funkcję
o
dwrotną do funkcji y=x
3
dla xΕ(-∞;∞) jest funkcja
x
=
dla yΕ(-∞;∞)
Funkcję odwrotną do funkcji liniowej y=ax+b, a≠0 jest funkcja
a x
n
+
a x
n
−
1
+ +
...
a x
+
a
1
(
f x
( )
=
0
1
n
−
1
n
. Jeżeli funkcja
x
=
y b
−
. Niech funkcja odwzorowuje X na
)
b x
m
+
b x
m
−
1
+ +
...
b
x b
+
liczbowa
a
0
1
m
−
1
m
jest określona w zbiorze R z pominięciem miejsc zerowych
mianownika, przy założeniu, że licznik i mianownik nie
posiadają wspólnych pierwiastków. W szczególności funkcja
Y oraz niech A⊂X, B⊂Y. Obrazem zbioru A nazywamy zbiór :
f(A)={y:yΕY ∧
∃
y
=
f x
( )
}
x A
Ε
a x
+
a
f x
( )
=
0
1
Przeciwobrazem zbioru B nazywamy zbiór B nazywamy zbiór f
-
1
(B)={x:xΕX∧
nazywa się funkcją homograficzną i jest
b x b
+
∃
y
=
f x
( )
0
1
}
x B
Ε
b
b
−
}
1
0
Własności obrazów i przeciwobrazów:
obraz sumy : f(A
1
∪A
2
) = f(A
1
)∪f(A
2
)
obraz przekroju : f(A
1
∩A
2
) ⊂ f(A
1
) ∩ f(A
2
)
f
-1
(B
1
∪B
2
) = f
-1
(B
1
)∪ f
-1
(B
2
)
f
-1
(B
1
∩B
2
) = f
-1
(B
1
) ∩ f
-1
(B
2
)
Funkcje ograniczone, monotoniczne i wypukłe.
Funkcję f:x->R, gdzie R= xΕ(-∞;∞), zbiór liczb rzeczywistych,
nazywamy ograniczoną gdy jej przeciwdziedzina f(x) jest
zbiorem ograniczonym.
określona na zbiorze X=R\{0,
Funkcja potęgowa
Funkcję f określoną równością f(x)=x
Α
gdzie Α - dowolna liczba
rzeczywista, nazywamy funkcją potęgową.
Jeżeli Α=n, n – liczb naturalna, to
( )
n
f x
= = ⋅ ⋅
dla
x
x x x
każdego xΕX=R
Jeżeli Α=0, to
z def
f x
¾¾¾→
dla xΕR\{0}
( )
.
1
∃ ∀
f x
( )
≤
M
Analogicznie określone funkcje
1
M
>
0
x X
Ε
f x
( )
=
Jeżeli Α=-n, n – liczba naturalna to
dla xΕR\{0}
ograniczone z góry lub z dołu np. Mówimy, że f:x->R jest
ograniczona z dołu jeżeli:
x
n
∃ ∀
f x
( )
≥ −
M
Jeżeli Α=
1
M
>
0
x X
Ε
n
n – liczba naturalna (pierwiastek n-tego stopnia)
( )
n
Przykþady:
1. Funkcje
f x
=
Dla xΕX=R gdy n jest liczbą nieparzystą, oraz dla xΕX=<0; ∞),
gdy n jest liczbą parzystą.
−
1
dla x
〈
0
y
=
sgn
x
=
0
dla x
dla x
=
0
m
1
〉
0
a
=
; m – liczba całkowita, n – liczba naturalna to
Jeżeli
2. Funkcja
1
m
n
y
=
dla x
≠
jest ograniczona z góry dla xΕ(-∞;0)
0
f x
( )
=
x
definiujemy
( )
f x
=
n
x
m
x
oraz ograniczona z dołu dla xΕ(0;∞)
Niech f:x->Y gdzie X,Y
Jest prawdziwe następujące: Twierdzenie 1.
Jeżeli x≥0, Α jest liczbą rzeczywistą, (w
n
) (v
n
) są ciągami liczb
wymiernych zbieżnymi do Α, to ciągi potęg
( )
)
⊂
R. Mówimy, że :
f jest
rosnąca
na , jeżeli
(
są
X
w
(
X
V
)
∀
n
n
x
< ⇒
x
f x
( )
<
f x
( )
1
2
1
2
zbieżne oraz granice tych ciągów
0
x x
,
Ε
X
1 2
lim
lim
w
V
X
=
X
≥
n
n
f jest
malejąca
na X jeżeli :
(
∀
)
x
< ⇒
x
f x
( )
>
f x
( )
n
→∞
n
→∞
1
2
1
2
Definicja potęgi o wykładniku rzeczywistym.
Jeżeli x≥0, Α- jest liczbą rzeczywistą, to
x x
,
Ε
X
1 2
lim
w
n
x
Α
=
x
gdzie
f jest
niemalejąca
na X jeżeli :
(
∀
)
x
< ⇒
x
f x
( )
≤
f x
( )
→∞
1
2
1
2
(W
n
) jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnych do Α. Przy x=0
zakładamy, że Α>0.
Z twierdzenia 1 wynika, że granica
lim
w
n
x x
,
Ε
X
1 2
f jest
nierosnąca
na X jeżeli:
(
x
∀
)
:
x
< ⇒
x
f x
( )
≥
f x
( )
1
2
1
2
→∞
x x
,
Ε
X
1 2
Istnieje
Jest skończona i dodatnia, gdy X>0, oraz nie zależy od wyrazy
ciągu liczb wymiernych W
n
zbieżnego do Α .
Funkcje typu 1-4 nazywamy monotonicznymi. Natomiast
funkcje rosnące i malejące funkcjami ściśle monotonicznymi .
Funkcje f odwzorowującą przedział x⊂R w zbiór Y⊂R
nazywamy wypukłą jeżeli:
(
Dla x,x
1
,x
2
>0 oraz dla Α,Β ΕR zachodzą równości:
(
)
f q x
+
q x
≤
)
Α
x x
Α Α
= ⋅
x
x
∀ ∀
1 1
2 2
. Funkcję
1
2
1
2
≤
q f x
( )
+
q f x
( )
x x
Ε
X
q
q q
≥
+ =
0
1
`1
2
`2
1 2
1
2
Α
f
x
x
Α
Α
1
2
=
1
1
x
x
2
2
(
)
x
Α
⋅ =
x
Β
x
Α Β
+
3
Α
x
( )
Α Β
−
=
x
Β
x
( )
Β
x
Α
=
x
ΑΒ
⋅
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]