Wybrane wzory matematyczne, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zestaw wzorów matematycznych został przygotowany dla potrzeb egzaminu maturalnego
z matematyki obowiązującej od roku 2010. Zawiera wzory przydatne do rozwiązania
zadań z wszystkich działów matematyki, dlatego może służyć zdającym nie tylko podczas
egzaminu, ale i w czasie przygotowań do matury.
Zestaw ten został opracowany w Centralnej Komisji Egzaminacyjnej we współpracy
z pracownikami wyższych uczelni oraz w konsultacji z ekspertami z okręgowych komisji
egzaminacyjnych.
Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie
i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów.
Publikacja współfinansowana przez UE w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie.
S
PIS TREŚCI
1. Wartość bezwzględna liczby............................................................................ 1
2. Potęgi i pierwiastki .......................................................................................... 1
3. Logarytmy ........................................................................................................ 2
4. Silnia.Współczynnik dwumianowy ................................................................ 2
5. Wzór dwumianowy Newtona........................................................................... 2
6. Wzory skróconego mnożenia........................................................................... 3
7. Ciągi ................................................................................................................. 3
8. Funkcjakwadratowa ........................................................................................ 4
9. Geometriaanalityczna...................................................................................... 4
10. Planimetria ....................................................................................................... 6
11. Stereometria ................................................................................................... 12
12. Trygonometria................................................................................................ 14
13. Kombinatoryka............................................................................................... 15
14. Rachunek prawdopodobieństwa .................................................................... 15
15. Parametry danych statystycznych .................................................................. 16
16. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych............................................... 17
1. W
ARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY
Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej
x
definiujemy wzorem:
dla
x
⎧
=
⎨
−
x
x
≥
0
⎩
x
dla
x
<
0
Liczba
x
jest to odległość na osi liczbowej punktu
x
od punktu 0. W szczególności:
0
x
≥
x x
+≤+
x yxy
− ≤+
x yxy
⋅ =⋅
Ponadto, jeśli
y
≠ , to
0
x
y
=
x
y
Dla dowolnych liczb
a
oraz
r
≥ mamy warunki równoważne:
0
x ar
−≤ ⇔ −≤≤+
lub
arxar
x ar
−≥ ⇔ ≤−
xar
xar
≥+
2. P
OTĘGI I PIERWIASTKI
Niech
n
będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby
a
definiujemy jej
n
–tą
potęgę:
aa a
=⋅⋅
...
n
razy
Pierwiastkiem arytmetycznym
n
a
stopnia
n
z liczby
a
≥ nazywamy liczbę
0
b
≥ taką,
0
= .
W szczególności, dla dowolnej liczby
a
zachodzi równość:
n
ba
2
aa
=
.
Jeżeli
a
< oraz liczba
n
jest nieparzysta, to
n
0
a
oznacza liczbę
b
< taką, że
0
n
ba
= .
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.
_____
*
_____
Niech
m
,
n
będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy:
−
dla
a
≠ :
0
a
−
n
=
1
oraz
a
=
0
1
a
n
m
−
dla
a
≥
:
0
a
n
=
nm
a
−
dla
a
> :
0
a
−
m
n
=
1
n m
a
Niech
r
,
s
będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli
a
> i
0
b
> , to zachodzą
0
równości:
( )
s
a
r
aa a
+
⋅ =
s
r s
a
r
=
r s
=
a
rs
a
s
⎛⎞
=
a
r
a
r
ab a b
⋅ =⋅
r
r
⎜
⎝⎠
b
b
r
Jeżeli wykładniki
r
,
s
są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla
wszystkich liczb
a
≠ i
0
b
≠ .
0
1
−=
Dla dowolnych liczb
x, y
mamy:
x yxy
n
że
r
−
a
⋅
( )
r
3. L
OGARYTMY
c
> przy podstawie
a
nazywamy
wykładnik
b
potęgi, do której należy podnieść podstawę
a
, aby otrzymać liczbę
c
:
log
a
> i
0
a
≠ . Logarytmem log
a
c
liczby
1
0
= ⇔=
Równoważnie:
log
a
c
b
c
a c
b
a
a
=
Dla dowolnych liczb
x
> ,
0
y
> oraz
r
zachodzą wzory:
0
log
( )
⋅ = +
log
x
log
y
log
x r
r
=⋅
log
x
log
x
= −
log
x
log
y
a
a
a
a
a
a
y
a
a
Wzór na zamianę podstawy logarytmu:
jeżeli
a
> ,
0
a
≠ ,
1
b
> ,
0
b
≠ oraz
1
c
> , to
0
log
c
=
log
a
c
b
log
b
a
log
x
oznacza
10
log
x
.
4. S
ILNIA
. W
SPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY
Silnią liczby całkowitej dodatniej
n
nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od 1
do
n
włącznie:
! 1 2 ...
n
n
n
≥ zachodzi związek:
0
( ) ( )
n
+=⋅ +
1! !
n n
1
_____
*
_____
Dla liczb całkowitych
n
,
k
spełniających warunki 0
kn
≤ ≤
definiujemy współczynnik
dwumianowy
⎛⎞
⎜
⎝⎠
n
k
(symbol Newtona):
⎛⎞
=
n
n
!
( )
⎝⎠
k
knk
!
−
!
Zachodzą równości:
( )( ) ( )
⎛⎞
=
n
nn
−−⋅ ⋅ −+
1
n
2 ...
n k
1
⎝⎠
k
1 2 3 ...
⋅⋅⋅⋅
k
⎝⎠ ⎝ ⎠
n
n
⎛⎞
=
1
⎛⎞
=
n
n
1
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎝⎠
⎜
⎝⎠
k
n k
−
0
5. W
ZÓR DWUMIANOWY
N
EWTONA
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej
n
oraz dla dowolnych liczb
a
,
b
mamy:
( )
ab
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞
+= + ++ ++
n
n
a
n
n
ab
n
−
1
...
n
a b
n k k
−
...
n
ab
n
−
+
n
b
n
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜ ⎟ ⎜⎟
0
1
k
n
−
1
n
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
⎝ ⎠ ⎝⎠
2
Niech
x y
=⋅⋅ ⋅
Ponadto przyjmujemy umowę, że
0! =
.
Dla dowolnej liczby całkowitej
⎜⎟
⎜⎟
⎛⎞ ⎛ ⎞
=
1
6. W
ZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
Z dwumianu Newtona dla
n
= 2 oraz
n
= 3 otrzymujemy wzory dla dowolnych liczb
a
,
b
:
( )
2
ab a abb
+=++
2
2
2
( )
3
ab a ab ab b
+ =+ + +
3
3
2
3
2
3
( )
2
ab a abb
−=−+
2
2
2
( )
3
ab a ab ab b
− =− + −
3
3
2
3
2
3
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej
n
oraz dowolnych liczb
a
,
b
zachodzi wzór:
( )
(
n
n
n
−
1
n
−
2
...
− −
1
...
b b
n
−
2
n
−
)
)
−= − +++
W szczególności:
( )( )
a
n
1
a
1 1
a
...
a
−
n
1
ab abab
2
−=− +
2
a
2
− =− +
( )( )
a
1
a
1
a b aba abb
3
−=− ++
3
( )
( )
2
2
a
3
− =− ++
( )
( )
a
1
a a
2
1
( )
( )
( )
( )
ab ababb
3
+=+ −+
3
2
2
a
3
+ =+ −+
a
1
a a
2
1
7. C
IĄGI
•
Ciąg arytmetyczny
Wzór na
n
–ty wyraz ciągu arytmetycznego
( )
a
o pierwszym wyrazie
a
i różnicy
r
:
n
aa n r
=+−
1
( )
1
Wzór na sumę
Saa a
n
= +++ początkowych
n
wyrazów ciągu arytmetycznego:
( )
1
2
...
n
S
+
= ⋅ =
aa
1
n
n
2
an r
1
+−
1
⋅
n
n
2
2
Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:
a
=
aa
n
−
1
+
n
+
1
dla
n
≥
2
n
2
•
Ciąg geometryczny
Wzór na
n–
ty wyraz ciągu geometrycznego
( )
a
o pierwszym wyrazie
a
i ilorazie
q
:
n
aaq
=⋅
n
−
1
dla
n
≥
2
1
Wzór na sumę
Saa a
n
= +++ początkowych
n
wyrazów ciągu geometrycznego:
1
2
...
n
⎧
−
1
q
n
⎪
a
⋅
dla
q
≠
1
S
= −
⎨
⎪
⋅
1
1
q
n
⎩
na
1
dla
q
=
1
Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:
2
=⋅
1
dla
n
≥
2
n
n
− +
1
n
•
Procent składany
Jeżeli kapitał początkowy
K
złożymy na
n
lat w banku, w którym oprocentowanie lokat
wynosi %
p
w skali rocznej, to kapitał końcowy
K
wyraża się wzorem:
n
KK
⎛ ⎞
p
n
=⋅ +
⎝ ⎠
1
n
100
3
n k k
1
− = − + ++ ++ +
( )
( )
(
ab aba ab ab
1
1
1
aaa
⎜ ⎟
[ Pobierz całość w formacie PDF ]