wyklad4a, Studia, Różne, Notatki od Kamila, Analiza Mat, Analiza4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1FORMYR
•
ZNICZKOWEW
5
1.1Odwzorowaniawieloliniowe
+@N@6I:7;@6CDB')(#
0A:F3<!
:??7<C:L3KI<:I3=874BHG:7=@=:?:@G7;
2#*B7E4!,E=D:=:?7B33=874B3!0AB:?87B
Denition1Niech,
$
&%%%&,
'
&-bedaprzestrzeniamiwektorowyminad
%odw-
zorowanie
+&,
$
!%%%!,
'
#-
nazywasiewieloliniowe(dokadniej3-liniowe)gdyjestliniowewzgledemka
•
zdego
czynnika
+!7
$
&%%%&7
%
#7
%
&%%%&7
'
"(+!7
$
&%%%&7
%
&%%%&7
'
"#+!7
$
&%%%&7
%
&%%%&7
'
"&
+!7
$
&%%%& 7
%
&%%%&7
'
"( +!7
$
&%%%&7
%
&%%%&7
'
"&
7
$
$,
$
&%%%&7
%
&7
$,
%
&%%%&7
'
$,
'
&$
.
Odwzorowaniawieloliniowenazywamytak
•
zetensorami.
Zbirodwzorowa·n3liniowych+&,
$
%
#-dlaustalonychprzestrzeni
wektorowych,
%
&-tworzyprzestrze·nwektorowa*!,
$
&%%%&,
'
'-"%.Dla3($i
-(
otrzymujemypoprostuprzestrze·ndualna,
!%%%!,
'
%Dla,
$
(%%(,
'
(,
oznaczamyprzestrze·n3liniowychodwzorowa·nprzez*
'
!,"%
.6GI@B@G3?:7=:?:@G7/&,#-:?6E<E;7@6GI@B@G3?:7=:?:@G76E3=?7
/
&-
#,
GI@B7>
/
!7
"(7
"/%
Denition2Cofanietensorw.Dlaliniowegoodwzorowania/&,#-
okre·slamycofanie
/
&*
'
!-"#*
'
!,"&
/
!+"!7
$
&%%%&7
'
"(+!/!7
$
"&%%%&/!7
'
""%
1.2Tensorysko
·
sniesymetryczne,przestrze
·
n
&
Denition3Tensor+&,!%%%!,#-nazywamysko·sniesymetrycznylub
alternujacygdy
+!7
$
&%%&7
%
&7
%"$
&%%%&7
'
"(+!7
$
&%%%&7
%"$
&7
%
&%%&7
'
"%
/@6I4:MBD7?C@BMGC<@
J
C?:7CH>7DBH5I?H59DG@BIHA@6ABI7CDBI7
J
?G7<D@B@GL3#
17?C@BC<@
J
C?:7CH>7DBH5I?H+&,!%%%!,#
?3IHG3>H3"<@G7<D@B7>#
/BI7CDBI7
J
?G7<D@B@G33"<@G7<D@BMG+&,!%%%!,#
@I?35I3>HABI7I
'
,
%
%
&
Exercise4Pokaza·c,•zegdy3(*+,,tonieistniejeniezerowy3-kowektor.
/@?:7G3KI<3KI63A7B>ED35;3;7CDIN@KI7?:7>DB3?CA@IH5;:D@6=3D7?C@B3C<@JC?:7
CH>7DBH5I?78@+:A7B>ED35;:#$
'
5:L38E!$&%&%%%&3"I359@6I:
+!7
!
&%%%&7
!
"(605# +!7
$
&%%%&7
'
"%
Exercise5Pokaza·c,
•
zedladowolnych1'2itensorasko·sniesymetrycznego
+!7
$
&%%&7
%
&%%%&7
&
&%%%&7
'
"(+!7
$
&%%&7
&
&%%%&7
%
&%%%&7
'
"%
(wystarczapokaza·c,
•
zepremutacjatakamaznak$&czylipowstajezapomoca
nieparzystejilo·scitranspozycji)
1.3Mno
•
zeniezewnetrzne
Denition6Iloczynemzewnetrznym[sko·sniesymetrycznym]tensorwsko·snie
symetrycznych$$
&
'
,
i $
&
(
,
nazywamytensorskosniesymetryczny
$& $
(
'"(
,
okre·slonywzorem
$& !7
$
&%%%&7
'"(
"(
$
3 4
'
605# $
7
! $!
&%%%&7
! '!
7
! '"$!
&%%%&7
! '"(!
!!
!
'
(
605# $
7
! $!
&%%%&7
! '!
7
! '"$!
&%%%&7
! '"(!
!!
!
! $!#"""#! '!
'"$!#"""#! '"(!
Exercise7Cwiczenieteoretyczne.Sprawdzi·c
•
zezachodzipowy
•
zszarwno·s·c.
Example8Dla$-kowektorw$& $
&
$
,
(,
$& !7
$
&7
%
"($!7
$
" !7
%
"$!7
%
" !7
$
"%
Theorem9Wasno·scimno•zeniazewnetrznego
(1)Operacja&&
&
'
,
!
&
(
,
#
&
'"(
,
&!$& "%#$& &jestdwuliniowa,
stadsumaprosta
(
%
(
)
'&#
'
,
&(
,
tworzyalgebre(algebratoprzestrze·nwektorowa)zdwuliniowymodwzorowaniem
&)!)#)).
(2)antyprzemienno·s·c$& (!$"
'(
&$&wszczeglno·scigdyobatensoty
sastopnianieparzystegoto$& ( &$&gdyconajmniejjedenjeststopnia
parzystegoto$& ( &$(tensorystopniparzystychtworzaalgebrekomutaty-
wna).
&
(3)aczno·s·c!$& "&!($&! &!"&(tzn.algebra
&
,
jestaczna).
$& &!!7
$
&%%%&7
'"("*
"
(
$
3 4 6
'
605# $
7
! $!
&%%%&7
! '!
7
! '"$!
&%%%&7
! '"(!
!
7
! '"("$!
&%%%&7
! '"("*!
%
!!
!"
Analogiczniedlawiekszejilo·sciczynnikw,npdla$-kowektorw$
$
&%%%&$
'
$
$
,
(,
$
$
&%%%&$
'
!7
$
&%%%&7
'
"(
'
605# $
$
7
! $!
%%% $
'
7
! '!
%
!!
(4)dladowolnegoodwzorowanialiniowego/&,#-i$$
&
'
-
jest
&
/
!$"$
'
,
&oraz
/
!$& "(/
$&/
%
&
&
Oznaczato,•ze/
&
-
#
,
jesthomomorzmemalgebr.
Proof.% C3>@6I:7=?7J5G:5I7?:7#
&
$& !7
$
&%%%&7
'"(
"
(
$
3 4
'
605# $
7
! $!
&%%%&7
! '!
7
! '"$!
&%%%&7
! '"(!
!!
!
(
$
3 4
'
605#
7
! '"$!
&%%%&7
! '"(!
$
7
! $!
&%%%&7
! '!
!!
!
$?:759"4L76I:7A7B>ED35;L3!3#$&%%%&3#4&$&%&%%%&3"
(
$
3 4
'
605#
7
! $!!
&%%%&7
! (!!
$
7
! ("$!!
&%%%&7
! '"(!!
!!
!
$# %##"";7CD4:;7<5;L3605!#"""(605# 605"&605"(!$"
'(
(605"
$
3 4
'
605# 605"
7
! $!!
&%%%&7
! (!!
$
7
! ("$!!
&%%%&7
! '"(!!
!!
!
'
(605"
$
3 4
605!#"""
7
! $!!
&%%%&7
! (!!
$
7
! ("$!!
&%%%&7
! '"(!!
!!
!
(605"
$
3 4
'
605#
7
!
$!
&%%%&7
!
(!
$
7
!
("$!
&%%%&7
!
'"(!
!
!
!
(!$"
'(
&$!7
$
&%%%&7
'"(
"%
'
&
' -:759$$
&
'
,
! $
&
(
,
&!$
&
*
,
!$& "&!!7
$
&%%%&7
'"("*
"
(
$
!3#4" 6
'
605# !$& "
7
! $!
&%%%&7
! '"(!
!
7
! '"("$!
&%%%&7
! '"("*!
!!
!"
'
(
$
!3#4" 6
605#
!!
!"
!
"
#
$
3 4
'
605" $
7
! $!!
&%%%&7
! '!!
7
! '"$!!
&%%%&7
! '"(!!
$
!
7
! '"("$!
&%%%&7
! '"("*!
!
!
(
$
3 4
'
605"
$
!3#4" 6
'
605#
!
!
!!
!"
7
! $!!
&%%%&7
! '!!
7
! '"("$!
&%%%&7
! '"("*!
$
7
! '"$!!
&%%%&7
! '"(!!
!
'
'
(
$
3 4
605"
$
!3#4" 6
605"
605#
!
!
!!
!"
7
! $!
&%%%&7
! '!
7
! '"$!
&%%%&7
! '"(!
$
!
7
! '"("$!
&%%%&7
! '"("*!
'
(
$
3 4
$
!3#4" 6
!3#4"
605# $
7
! $!
&%%%&7
! '!
7
! '"$!
&%%%&7
! '"(!
!
7
! '"("$!
&%%%&7
! '"("*!
!!
!"
(
$
3 4
$
6
'
605# $
7
! $!
&%%%&7
! '!
7
! '"$!
&%%%&7
! '"(!
!
7
! '"("$!
&%%%&7
! '"("*!
(%%%(
!!
!"
($&! &!"!7
$
&%%%&7
'"("*
"
(
!$& "!7
$
&%%%&7
'"(
"
(!$& "!/!7
$
"&%%%&/!7
'"(
""
(
$
3 4
/
'
605# $
/
7
! $!
&%%%&/
7
! '!
/
7
! '"$!
&%%%&/
7
! '"(!
!!
!
(
$
3 4
'
605# /
$
7
! $!
&%%%&7
! '!
/
7
! '"$!
&%%%&7
! '"(!
!!
!
(!/
$"&!/
"!7
$
&%%%&7
'"(
"%
(
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
