Wyklad3, Studia, Różne, Notatki od Kamila, Analiza Mat, Analiza4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1POLEWEKTOROWEW
H
>Q[MYI[\YILW[^K_hIKIXlT]MS[WYW]^KP]_IZ[WZW]IVQ\LW_IOILVQM
f
VMTMS[YW$
UIOVM[^K_V^KP1
(!EILM\Z_?WYI]ZSQ#Zbirzada·nzteoriipolaelektro-magnetycznego,GIYZ_I]I
(0.)#G^LBWTGIYZ_I]ZSQMR#
)!G%4IfVZSQ#?%3%:MYUIV#>%GQLWUZSQ#Zbirzada·nzFizyki,elektryczno·s·c
imagnetyzm,GIYZ_I]I(0/(#BG@#
*!?IKQMR=YISW]ZSQ#Elektrotechnikateoretyczna,TomII.Poleelektromag-
netyczne,GIYZ_I$]I(0/*#BG@#
WYI_LWLI[SW]W
+!4WTMZmI]=WVWYZSQ#Elektrotechnikateoretyczna,jlLf_(0-)#BWTQ[%jlL_SI#
,!C^Z_IYLDQSWYI#Teoriapolaelektro-magnetycznego,GIYZ_I$]I(0/,#G@E%
1.1Denicjaiprzykady
Denition1Polemwektorowymw
0
VI_^]IU^WL]_WYW]IVQM
"',&
0
(,%
0
(
S[lYMXY_^XQZ\RMSI
g
_LMU\X\VS[W]QM_L_QML_QV^,]MS[WY"M *
0
'(Wektor
"M mo
•
zemyte
•
zoznacza·c"
5
).
BWTM]MS[WYW]M"]
0
UIH]ZXlmY_iMLV^KPZSITIYV^KP
"- )*/
#
- ('''(/
0
- +(-*,'
<Mg_MTQ]ZXlmY_hMLVM[MZhIN\VSKRIUQST.
/
[WXWTM]MS[WYW]M"VI_^]IU^ST
.
/
'6TIH)$XWTM]MS[WYW]MVI_^]IU^polempaskim.6ITMR_ISmILIU^#g_M
]Z_^Z[SQMXWTI]MS[WYW]MZhIST.
#
'
Example2BY_^SmILIUQXlT]MS[WYW]^KP]^Z[hMX\RhIK^KP]_IOILVQMVQIKPa_^$
K_V^KPZhI1
#XWTM]MS[WYl]XYhMLSWfZKQKQMK_^Xm^VhIKMRXY_M_Y\YShM#
#XWTM]MS[WYW]MWXQZ\RhIKMY\KPKQMXmI]KQMTM`
#XWTMOYI]Q[IK^RVM%
#GMTMS[Y^K_VWfZKQUIU^LWK_^VQMVQI_]QMTWUIYWL_IRIUQXlT]MS[WYW]^KP
VX%_XWTIUQMTMS[YWZ[I[^K_V^UQK_^MTMS[YWUIOVM[^K_V^UQ%
(
1.2DrugiePrawoNewtona
B\VS[UI[MYQITV^WUIZQMGXWY\Z_IZQhMVIXmIZ_K_^f_VQMT\J]XY_MZ[Y_MVQXWL
]Xm^]MUXWTIZQm"XWXM]V^Um\S\'K S[lYMOWXY_^fZXQMZ_MVQM%K WXQZ\RM
;;XYI]W@M][WVI
"'K )G %K '
Cl]VIVQM@M][WVIRMZ[Yl]VIVQMUYl
g
_VQK_SW]^U)$Y_hML\JW%K )
*
!
*4
?K
)
#
"'K '
G
K
1
),
1
'
GZ_K_MOlTVWfZKQ#RMg_MTQ")"[W%K )"(ZShILXYhMLSWfZK,K RMZ[Z[ImIQ
Y\KPWLJ^]IZQhMXWXYWZ[MR%
<M
g
_MTQZQmI")*,(-(.+)KWVZ[[WL]\SYW[VMKImSW]IVQMYl]VIVQI@M][WVI
!
"'K )*,(-(.+)G %K
,)G >
!!
#
K (-)G >
!!
$
K (.)G >
!!
%
K (
LIRMm\S
G
K!L
#
(
>
#
K )
,
#
K )
,
$G
K
$
!L
#
K!=
#
(
>
$
K )
-
$G
K
$
!L
$
K!=
$
(
>
%
K )
.
$G
K
$
!L
%
K!=
%
'
WXQZIV^]_ILIVQ\??XW]^
g
_MR%C\KP[MVRMZ[XmIZSQJW]QMU'
!
K !'
!!
K
K )"[%R% Yl]VW]I
g
_VQM
*L
#
(L
$
(L
%
+!*,(-(.+)"(]l]K_IZm\SWLJ^]IZQiMXWXYWZ[MR RMLVWZ[IRVQM
XY_^fZXQMZ_WV^!%
Cwiczenie(*).9L^*L
#
(L
$
(L
%
+!*,(-(.++)"]l]K_IZY\KPWLJ^]IZQiMXW
XIYIJWTQ%BA=3H3
f
5EA%
!!!
K )"dKWmI[]WWJTQK_^fK%9L^'
!
K !'
!!
1.3Gradient
Denition39YILQMV[MUN\VSKRQZSITIYVMRAM
#
('''(M
0
STIZ^.
#
WSYM
f
ZTWVMRVI
W[]IY[^UXWL_JQWY_M,%5
0
VI_^]IU^XWTM]MS[WYW]M
'
+M
#
('''(
+A
+A
(
5A)
+M
0
6TIH)%QN\VSKRQAM(N(O UIU^
'
+M
(
+A
+N
(
+A
(
)
+A
+M
(!
+A
+N
)!
+A
5A)
+O
*'
+O
)
?
$
'
D[hIL#RMOWYW_]QhI_IVQM'K RMZ[RMLVW_VIK_VQMWSYMfZTWVM]IY\VSIUQXWK_hI[SW]^UQ
'K
1
)-
1
Q'
!
>
'
+A
6TIN\VSKRQ)$_UQMVV^KPAM(N JhML_QM[WXWTM
'
+M
(
+A
(
)
+A
+M
(!
+A
5A)
+N
)'
+N
<MfZTQ"RMZ[XWTMU]MS[WYW]^UVIW[]IY[^UXWL_JQWY_M,[WN\VSKRhM8WSYMfZTWViI
VI,[IShI#
g
_M
"')58
VI_^]IU^]l]K_IZpotencjaemskalarnympolawektorowego"' 8\VSKRI[ISI
VIKImMRL_QML_QVQM,UW
g
_MVQMQZ[VQMfK!%
BWTM]MS[WYW]M"XWZQILIRhIKM]KImMRZ]WRMRL_QML_QVQMXW[MVKRImVI_^]IU^
potencjalnym.
FG3931%HVISRMZ[\_IZILVQWV^a_^SiI%?QIVW]QKQM#RMfZTQXWTMMTMS$
[Y^K_VMXWZQILIXW[MVKRIm#[Wa_^K^KPKiIIJ^VIXQiMKQMUQiML_^X\VS[IUQ_L_QML_QV^
[MOWXWTIJ^mWYlg_VQKiIXW[MVKRIm\%EW]^U\Z_I]mIfZVQM_VISUQV\Z%
BW[MVKRImLIVMOWXWTI WQTMQZ[VQMRM!VQMRMZ[]^_VIK_WV^RMLVW_VIK_VQM
TMK_VISI
g
_LMRZXlRVMRZSmILW]MR_JQWY\,RMZ[]^_VIK_WV^_LWSmILVW
f
ZKQhILW
Z[ImMR%5_hMZ[WXWZ_\S\RMZQhMXW[MVKRIm\LIVMOWXWTIMTMS[Y^K_VMOW
g
_hILIRhIK#
g
_M
]WSYMfZTWV^UX\VSKQMXY_^RU\RM]IY[WfZfK_MYW%
Example4GM
f
_U^XWTM]MS[WYW]M+M(N(O )M (!N )!O *WSYM
f
ZTWVM]
SI
g
_L^UX\VSKQMRISWwektorwodz‚acytegopunktu.@IZ[hMXVQMWSYMfZTU^N\VSKRhM
ZSITIYVhI
6
IM(N(O )2+M(N(O 2)
M
$
!N
$
!O
$
'
G[ML^OYILQMV[MUN\VSKRQ
#
25!6!7
RMZ[
%
#
IM(N(O
&
#
M
$
!N
$
!O
$
!
$
5
)5
)
+
M
$
!N
$
!O
$
!
(!
+
M
$
!N
$
!O
$
!
)!
+
M
$
!N
$
!O
$
!
*
+M
+N
+N
)
M
IM(N(O
%
(!
N
IM(N(O
%
)!
O
IM(N(O
%
*
)
+M(N(O
I
%
M(N(O
(
[_V%
%
#
I
&
)
+
5
I
%
' (!
1.4Gradientapochodnakierunkowa
@QMKPAJhML_QMN\VSKRhIZSITIYVhIH_UQMVV^KP#'K )M
#
K ('''(M
0
K m\SQMU
]
0
QCK )A'K VW]hIN\VSKRhIZSITIYVhIdQKP_mWg_MVQMU%G[ML^
?
?K
CK )C
!
K )5A
)4
>
!
K ' )!
*
+A
;Z[W[VQM#_XYI]IYlg_VQK_SW]IVQIN\VSKRQ_mWg_WVMRW[Y_^U\RMU^ VX%LTIH)%!
?
?K
CK )
?
?K
A'K
)
+A
+M
#
1
M
#
K !
+A
+M
$
1
M
$
K !'''!
+A
+M
0
1
M
0
K
4
4
4
'
(
+M
#
('''(
+A
)
*M
#
K ('''(M
0
K +
+M
0
4
)5A
4
'
!
K '
BY_^XWUVQRU^#
g
_MXWKPWLVhISQMY\VSW]hIN\VSKRQAM
#
(M
$
('''(M
0
]SQMY\VS\
]MS[WYI,VI_^]IU^XWKPWLVhI]UQMRZK\K)"N\VSKRQ
CK )A-!K , (OL_QM-)M
#
(M
$
('''(M
0
'
<M
g
_MTQ]Mf_UQMU^XWUWKVQK_Wm\S'K )-!K,(][ML^Z[WZ\RhIKYl]VWfZKQ'" )
"Q'
!
!
'
!
A
!
- )
?C
1
4'"
)5A
"
,'
?K
HIml
g
_U^LITMR#
g
_M2,2)#Q_ILIRU^X^[IVQM1
Wjakimkierunku,odugo·sci1pochodnakierunkowaA
!
- osi‚aga
najwi‚eksz‚aawjakimnajmniejsz‚awarto·s·c?
G[^UKMT\VIXQZ_U^QTWK_^VZSITIYV^5A
"
,]VIZ[hMX\RhIK^ZXWZlJ1
2 2,2 -13!(
OL_QM!RMZ[ShI[MUUQhML_^]MS[WYIUQ5A
"
Q,%BWVQM]I
g
_#$-13!$#(
UISZQU\URMZ[XY_^RhM[MOL^-13!)#([%R%OL^!)"'HVIK_^[W#
g
_MVITM
g
_^
]_QhIfK
A
!
!
- )5A
"
,)25A
"
,)
5
A
"
25A
"
2
'
HI[MU#
#
+
2
#+
2
RMZ[SQMY\VSQMU]S[lY^UAVIRZ_^JKQMRYWfZVQM%3VITWOQK_VQM
#
+
2
#+
2
WLXW]QI$LIShI[W]Q!)" -13")#!QRMZ[SQMY\VSQMU]S[lY^UA
VIRZ_^JKQMRUITMRM%
1.5Rotacjapolaw
Denition5Rotacj‚aXWTI]MS[WYW]MOW"- )3- (!4- )!5- *
VI_^]IU^XWTM]MS[WYW]M
%
&
%
&
%
&
+5
+N
+4
+O
+3
+O
+5
+M
+4
+M
+3
+N
214")
(!
)!
*
!
!
!
!
!
!
( ) *
!
!
!
!
!
!
)
"
"7
345
"
"6
)5!"(
+
!
!
!
+A
!
!
" ),XYI_XW]^g_Z_^]_lY )!LWZ[IRMU^_]QhI_MSOYILQMV[\5A_
XWKPWLVhISQMY\VSW]hIA
!
!
"
"5
4
5
'AZ[I[VQ]^_VIK_VQSYW_]QRIU^NWYUITVQM]_OThMLMU
XQMY]Z_MOW]QMYZ_I%GZ_K_MOlTVWfZKQ#LTIXWTIXmIZSQMOW"- )3- (!
4- ))*3(4+W[Y_^U\RMU^
"5
(
"
"6
(
"
"7
%
+4
+M
+3
+N
&
214")
*'
BWTM]MS[WYW]MVI_^]IU^bezwirowe,RM
g
_MTQRMOWYW[IKRIRMZ[Yl]VI'%
<M
g
_MTQLTIXWTI#QZ[VQMRMXWTM"S[lYMOWYW[IKRIRMZ[Yl]VI#(214")#(
[W"VI_^]IU^potencjaemwektorowympola#'
CW[IKRIRMZ[WSYMfZTWVI[^TSW]XY_MZ[Y_MVQ*$]^UQIYW]MR
%
M]MV[\ITVQM
)$]^UQIYW]MR
$
[YIS[\RhIK[Y_MKQhI]ZXlmY_hMLVhI_MYW]hI!%
Zadanie.jI[]WZXWZ[Y_MK#
g
_MSI
g
_LMXWTM]MS[WYW]M"M(N )3M (!
4N )RMZ[JM_]QYW]M%
;V[MYXYM[IKRhIYW[IKRQQRMR_]QhI_SQMU_K^YS\TIKRhI XI[Y_6MN%??!_IRUQMU^
ZQhM]YW_L_QITMLW[^K_hIK^U]_WYl]KImSW]^KP%
1.6Dywergencja
Denition6Dywergencj‚apolawektorowego"M )*3
#
M (3
$
M ('''(3
0
M +
VI_^]IU^N\VSKRhMZSITIYVhI
./5")
+3
#
+M
#
!
+3
$
+M
$
!'''!
+3
0
+M
0
'
B\VS[-]S[lY^U./5"M *"VI_^]IU^
·
zrdemIX\VS[-]S[lY^U
./5"M )"VI_^]IU^uj·sciem.BWTMLTIS[lYMOWL^]MYOMVKRIRMZ[_MYW]I
VI_^]IU^selenoidalnym(bez·zrdo-wym).
EMYUQV^f_YlLmWQ\RfZKQMJQWYhIZQhM_QV[MYXYM[IKRQP^LYWUMKPIVQK_VMRXY_MXm^]\
KQMK_^VQMfZKQfZTQ]MR%6WLI[VQIL^]MYOMVKRIW_VIK_I RIS]^RIfZVQhI]_WY^KImSW]M
_YW_L_QIm\??!QZ[VQMVQM][^UXY_^XILS\f_YlLMm_IZQTIRhIK^KP#_IfZL^]MYOMVKRI
\RMUVId\RfZfK#K_^TQfZKQMSl]%GXY_^XILS\XY_MXm^]\OI_\JM_Z[YI[Q_IZQTIVQI
QTWfZKQW]MOW#\RMUVIL^]MYOMVKRIW_VIK_ISWUXYMZW]IVQMOI_\#_IfZLWLI[VQId
RMOWLMSWUXYMZRhM#K_^TQYW_Y_ML_IVQM%
BY_^SmILMUXWTIf_YlLmW]MOWVIXmIZ_K_^f_VQM
$
RMZ["M(N )M (!N )
JW./5"- )#!#)$*"'BY_^SmILMUXWTILTIS[lYMOWSI
g
_L^X\VS[RMZ[
\RfZKQMURMZ[AM(N )M (N )JW./5"- )##)$)"'BY_^SmILMU
XWTIZMTMVWQLITVMOWRMZ[XWTM"M(N )N (!M )'
1.7Potencjaskalarnyipotencjawektorowy
GXYWZ[_WLXW]QMLVQKPLMaVQKRQQYl]VWfZKQXWKPWLV^KPK_hIZ[SW]^KPUQMZ_IV^KP
LWZ[IVQMU^VIZ[hMX\RIKML]I]I
g
_VMTMUI[^%
,
"
OL_QM5)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]